Свойство линейности является следствием линейности преоб­разования Лапласа, его можно записать в форме

где a_k — постоянные коэффициенты разложения. Свойство (7.5) легко доказать, если применить к левой части соотношения (7.5) прямое преобразование Лапласа (7.2).

Дифференцирование оригинала. При ненулевых начальных ус­ловиях: f(0_–) ¹ 0 дифференцирование оригинала соответствует сле­дующему условию

Для доказательства (7.6) подставим f¢(t) в преобразование (7.2) в виде

Отсюда после интегрирования по частям получаем:

В случае нулевых начальных условий

Интегрирование оригинала

Доказательство осуществляется путем использования свойства дифференцирования оригинала (7.6), (7.7).

Изменение масштаба независимого переменного (теорема по­добия)

где а — постоянный вещественный коэффициент. Свойство (7.9) легко доказывается путем замены независимой переменной t = at в прямом преобразовании Лапласа (7.2).

Смещение в области действительного переменного (теорема за­паздывания):

Для доказательства (7.10) введем следующие обозначения:

Осуществим замену переменной t = t ± t₀.

что и требовалось доказать.

Из соотношения (7.10) следует, что сдвиг оригинала по оси времени на t₀ соответствует умножению изображения на .

Смещения в области комплексного переменного (теорема сме­щения):

Теорема (7.11) следует непосредственно из прямого преобразова­ния Лапласа, если в (7.2) вместо f(t) подставить . Причем l может быть как действительной, так и комплексной величиной.

Дифференцирование и интегрирование оригинала по параметру (свойство коммутативности):

Для доказательства свойств (7.12), (7.13) достаточно продиф­ференцировать или проинтегрировать прямое преобразование Лап­ласа (7.2) по параметру х.

Произведение изображений:

Интегралы в (7.14) носят название свертки функций f₁(t) и f₂(t).

Дифференцирование изображения:

Свойство (7.15) легко доказывается путем дифференцирования прямого преобразования Лапласа (7.2).

Интегрирование изображения:

Данное свойство доказывается аналогично (7.15).

В заключение приведем предельные соотношения для ориги­нала и изображения:

Действительно, согласно свойства дифференцирования ориги­нала можно записать:

Учитывая, что , получаем:

Отсюда непосредственно следует соотношение (7.17). Аналогично доказывается равенство (7.18).

В качестве примера найдем изображение по Лапласу типовых сигналов. Для теоретических и экспериментальных исследований характеристик электрических цепей и передачи сообщений по каналам связи используются различные типы сигналов: гармониче­ские колебания, уровни постоянных напряжений, последователь­ность прямоугольных импульсов и так далее. Особо важную роль в теоретических исследованиях электрических цепей играют ис­пытательные сигналы в форме единичной функции 1(t) и единич­ной импульсной функции d(t) (функция Дирака).

Единичная функция. Единичная функция задается уравнением (рис. 7.2, а)

Изображение функции (7.19) будет равно:

Единичная импульсная функция (функция Дирака). Эта функ­ция называется еще d-функцией; она задается уравнением

Функция Дирака является физически нереализуемой матема­тической абстракцией, однако обладает рядом интересных свойств и играет очень важную роль в теоретических исследованиях. Фор­мально она может быть получена, например, предельным перехо­дом (при t ® 0) единичного импульса (см. рис. 7.2, б), площадь которого равна единице:

Одним из интересных свойств функции d(t) является ее фильт­рующее свойство, определяемое равенством (рис. 7.3):

Найдем изображение единичной импульсной функции в форме изображения разности двух единичных функций величины 1(t), сдвинутых друг относительно друга на t (рис. 7.4). Для этих функций с учетом теоремы запаздывания имеем:

Для результирующего изображения с учетом свойства линейности получим

Устремив t ® 0, найдем изображение единичной импульсной функ­ции (d-функции):

Экспоненциальный сигнал  при t > 0:

т. е.

Подобным же образом можно найти изображение по Лапласу других функций, удовлетворяющих условию (7.3). В литературе имеются специальные справочники, в которых приведены ориги­налы и изображения широкого класса функций. В табл. 7.1 при­ведены оригиналы и их изображения наиболее часто встречаю­щихся в теории электрических цепей функций.

7.2. Теорема разложения

Для нахождения оригинала по изображению можно восполь­зоваться либо таблицами, либо использовать обратное преобразо­вание Лапласа (7.4). Однако вычисление оригинала с помощью (7.4) обычно оказывается весьма сложным. Поэтому, для упро­щения расчетов применяют теорему разложения, которая позволяет при нахождении оригинала заменить операцию интегрирования в (7.4) операцией суммирования, что значительно упрощает вы­числения. Наиболее строгий вывод этой теоремы можно осущест­вить на основании теоремы вычетов. Здесь мы ограничимся вы­водом формул разложения применительно к изображению, пред­ставляющему собой рациональную дробь:

где  — вещественные коэффи­циен­ты, причем F₁(p) и F₂(p) не имеют общих корней.

Для нахождения оригинала f(t) разложим F(p) на простые дроби:

где p_k — простые корни характеристического уравнения

A_k — коэффициенты разложения.

Для того, чтобы найти коэффициент A_k домножим обе части (7.26) на (р — p_k) и перейдем к пределу:

Раскрывая неопределенность в левой части равенства (7.28) по правилу Лопиталя и учитывая, что согласно (7.27) правая часть (7.28) равна A_k, получаем

Подставив значения A_k в формулу (7.26), найдем:

Если учесть, что изображение  (см. табл. 7.1), то на основании свойства линейности преобразования Лапласа окон­чательно получим:

Формула (7.30) является математической формулировкой тео­ремы разложения и позволяет найти оригинал по изображению в виде (7.25), в случае простых корней. Если среди корней p_k име­ется один нулевой корень, т. е. F₂(р) = pF₃(p), то теорема разло­жения примет вид

Формулу (7.31) можно получить, если подставить в (7.30) вместо F₂(р) значение pF₃(р) и осуществить операцию дифференциро­вания.

Если среди корней уравнения (7.27) (полюсов функции F(p)) имеются комплексно-сопряженные корни p_k и p_k+1, то в формуле (7.30) достаточно взять p_k, а для p_k+1 взять сопряженное значе­ние, при этом сумма соответствующая двум этим корням с учетом действительности f(t) будет равна

При этом в уравнении для f(t) появятся составляющие типа (6.9): .

Теорему разложения можно обобщить и на более общие слу­чаи. В частности, если среди полюсов (7.25) имеются полюса кратности l, то в оригинале f(t) появятся слагаемые типа (6.8).

Пример. Задано изображение в виде

                                      .

Обозначим F₁(p) = p + 2; F₂(p) = p(p² + 5p + 4). При этом получим F(p) в виде (7.25). Найдем корни характеристического уравнения F₂(p) = p(p² + + 5p + 4) = 0.

При этом F₁(p₁) = 2; F₁(p₂) = 1; F₁(p₃) = –2.

Определим производную

Отсюда F₂¢(p₁) = 4; F₂¢(p₂) = –3; F₂¢(p₃) = 12. Воспользовавшись формулой (7.30), окончательно получим:

Учитывая, что среди корней характеристического уравнения F₂(p) = 0 имеем один нулевой корень, при нахождении f(t) можно было воспользоваться и форму­лой (7.31). Действительно, если обозначим

то получим

Тогда корни уравнения F₃(p) = 0 будут равны p₁ = —l, p₂ =—4. С учетом зна­чений

согласно (7.31) окончательно получим

что полностью совпадает с ранее полученным решением.

7.3. Расчет переходных процессов операторным методом

Пользуясь основными свойствами преобразования Лапласа, можно получить основные законы теории цепей в операторной форме. Рассмотрим, например, последовательный RLC-контур (см. рис. 6.14), находящийся при ненулевых начальных условиях u_C(0_–) ¹ 0; i_L(0_–) ¹ 0. Для этого контура уравнение по ЗНК имеет вид:

Применив к (7.33) прямое преобразование Лапласа и принимая во внимание свойства линейности, дифференцирования и интегри­рования оригинала получим:

Отсюда получаем закон Ома в операторной форме для данной цепи:

где U₀(p) = U(p) + Li(0) — u_C(0)/p носит название операторного напряжения; Z(p) = R + pL + 1/pC — операторного сопротивления цепи. Если в Z(p) заменить р на jw, то получим комплексное со­противление цепи. Величины Li(0) и u_C(0)/p называют расчетны­ми напряжениями. Они характеризуют энергию магнитного и элек­трического полей, запасенную в L и С к моменту коммутации. Ве­личина, обратная Z(p) называется опера­торной проводимостью цепи:

Для нулевых начальных условий закон Ома примет вид

Аналогичным образом можно получить законы Кирхгофа в опе­раторной форме:

первый закон (ЗТК)

второй закон (ЗНК)

Таким образом, закон Ома и законы Кирхгофа в операторной форме аналогичным этим же законам в комплексной форме (см. (3.48)—(3.50)) с той лишь разницей, что в (7.37) в каждой из п ветвей при наличии ненулевых начальных условий действуют до­полнительные расчетные источники L_ki_k(0) и —u_Ck(0)/р, положи­тельное направление которых совпадает с выбранным положи­тельным направлением тока в этой ветви.

Используя законы Ома и Кирхгофа в операторной форме, мож­но найти изображения искомых токов и напряжений в цепи. Для определения оригиналов токов и напряжений можно воспользо­ваться либо таблицами оригиналов и изображений, либо приме­нить теорему разложения.

Для иллюстрации основных теоретических положений найдем операторным методом закон изменения тока в последовательном RLC-контуре при включении его на источник постоянного напря­жения (см. § 6.5). Уравнение для изображения тока можно найти по закону Ома для нулевых начальных условий (7.35) с учетом изображения постоянного напряжения U(p)  U/p:

Найдем корни характеристического уравнения

При R > 2r корни будут вещественны и различны. Для нахожде­ния оригинала тока i(t) воспользуемся теоремой разложения (7.30). Для этого найдем производные F₂¢(p₁) и F₂¢(p₂):

Подставив значения F₁(p) = F₁(p₂) = CU и F₂¢(p₁) и F₂¢(p₂) в (7.30) получим оригинал тока

что полностью совпадает с ранее полученным уравнением (6.68).

Из рассмотренного примера хорошо видны преимущества операторного метода: простота, отсутствие громоздких операций по определению постоянных интегрирования. Следует подчеркнуть, что базируясь на законах Ома и Кирхгофа в операторной форме, можно рассчитать переходный процесс любым из ранее рассмот­ренных методов: контурных токов, узловых напряжений и др. При этом удобно пользоваться эквивалентными операторными схема­ми. При составлении эквивалентных операторных схем источники тока и напряжений i(t) и u(t) заменяются соответствующими изо­бражениями I(p) и U(p), индуктивность L заменяется на pL, а ем­кость С — на 1/pC при нулевых начальных условиях. Если на­чаль­ные условия ненулевые, то последовательно с pL добавляет­ся источник напряжения Li(0), а с С — источник напряжения — u_C(0)/р (рис. 7.5)*. Например, эквивалентная операторная схема для цепи, изображенной на рис. 6.17, будет иметь вид (рис. 7.6). Составив для этой схемы уравнения по законам Кирхгофа в опе­раторной форме, получим систему алгебраических уравнений, ре­шение которых существенно проще системы (6.86).

Операторный метод можно использовать и для решения уравнения состояния цепи (см. § 6.7). При этом уравнение состояния (6.94) с учетом свойств диффе­ренцирования оригинала и линейности преобразования Лапласа примет вид:

где Х(р), W(p) — изображения векторов состояния x(t) и входных воздейст­вий W(t).

Из (7,38) получаем непосредственно решение

где I — единичная матрица. Применив к (7.39) теорему разложения, можно по­лучить искомый вектор состояния

7.4. Операторные передаточные функции

Важную роль в методах анализа и синтеза электрических це­пей при нулевых начальных условиях играют операторные пере­даточные функции, которые определяются как отношение изобра­жения выходной реакции цепи к изображению входного воздейст­вия. В соответствии с этим определением различают четыре вида передаточных функций:

где Н_и(р), H_i(p) имеют смысл операторных передаточных функ­ций по напряжению и току; Н_L(р); Н_Y(р) —операторные переда­точные сопротивление и проводимость соответственно.

Если в (7.40) заменить оператор р на jw, то получим уравне­ние комплексных передаточных функций Н(jw), которые были рассмотрены в § 4.1 и широко используются при частотных мето­дах анализа электрических цепей (см. § 4.2—4.4, 9.5).

Зная передаточную функцию цепи Н(р), с помощью (7.40) не­трудно найти изображение реакции цепи, а следовательно, и са­му реакцию на заданное воздействие.

Операторную передаточную функцию Н(р) для пассивной цепи можно представить как дробно-рациональную функцию с вещест­венными коэффициентами:

или в виде

где  p₀₁, p₀₂, ..., p_0n — нули; p₁, p₂, ..., p_m — полюсы передаточной функции; Н = а_n/b_m.

Степени полиномов числителя п и знаменателя т зависят от числа реактивных элементов пассивной цепи.

Заменив в (7.41) оператор р на jw, получим комплексную пе­редаточную функцию цепи

где АЧХ цепи

ФЧХ цепи

Учитывая, что согласно (7.43) |H(jw)| является иррациональ­ной, обычно при анализе и синтезе цепей имеют дело с квадратом АЧХ:

где коэффициенты с_k и d_k получаются путем объединения коэф­фициентов при одинаковых степенях переменной w.

Перечислим основные свойства операторных передаточных функций и квадрата АЧХ пассивных цепей:

1. Передаточная функция является дробно-рациональной функ­цией с вещественными коэффициентами. Вещественность коэффи­циентов объясняется тем, что они определяются элементами схемы.

2. Полюсы передаточной функции располагаются в левой по­луплоскости комплексной переменной р. На расположение нулей ограничений нет. Докажем это свойство на примере передаточной функции Н_и(р) = U₂(р)/U₁(р). Выберем входное воздействие u₁(t) = d(t) или в операторной форме U(р) = l. Изображение вы­ходного напряжения U₂(р) = U₁(р)Н_и(р)  в этом случае численно равно Н_и(р), т. е.

где w(p) — полином числителя передаточной функции; A₁, A₂, ..., A_m, —коэффициенты разложения дробно-рациональной функции на сумму простых дробей.

Перейдем от изображения U₂(p) к оригиналу u₂(t):

где в общем случае p_i = a_i + jw_i.

В пассивных и устойчивых активных четырехполюсниках коле­бания на выходе четырехполюсника после прекращения воздей­ствия должны иметь затухающий характер. Это означает, что в (7.46) вещественные части полюсов p_i должны быть отрицатель­ными (a_i < 0), т. е. полюсы должны находиться в левой полупло­скости переменной р.

3. Степени полиномов числителей передаточной функции и квадрата АЧХ не превышают степеней полиномов знаменателей, т. е. п < т. Если бы это свойство не выполнялось, то на бесконечно больших частотах АЧХ принимала бы бесконечно большое значе­ние (так как числитель рос бы с увеличением частоты быстрее знаменателя), т. е. цепь обладала бы бесконечным усилением, что противоречит физическому смыслу.

4. Квадрат АЧХ является четной рациональной функцией пере­менной w с вещественными коэффициентами. Это свойство с оче­видностью вытекает из способа получения квадрата АЧХ по пере­даточной функции.

>5. Квадрат АЧХ не может принимать отрицательных и беско­нечно больших значений при w > 0. Неотрицательность  следует из свойств квадрата модуля комплексной величины. Ко­нечность значений АЧХ на реальных частотах объясняется так же, как и в свойстве 3.

Вопросы и задания для самопроверки

1.    В чем заключается сущность операторного метода расчета цепи?

2.    Что такое операторное сопротивление цепи?

3.    Что такое операторные схемы замещения при составлении эквивалентной операторной схемы?

4.   
Чем заменяются индуктивности и емкости в операторной  схеме замещения?

5.    Как учитываются независимые начальные условия?

6.    Записать закон Ома и законы Кирхгофа в операторной форме.

7.    Что такое единичная функция и d-функция?

8.    Что понимается под операторной передаточной функцией? Каковы ее свойства?

9.    Каким образом можно перейти от изображения к оригиналу?

10.    Для схемы, изображенной на рис. 7.7, операторным методом определить напряжение на конденсаторе u_C(t). U = 20 В; R₁ = = R₂ = 100 Ом; С = 4 мкФ.

           Ответ:    u_C(t) = 10 – , В.

11.    Для схемы, изображенной на рис. 7.8, найти изображение тока I₂(p).

           Ответ:    I₂(p) = .

12.    Зная изображение тока (рис. 7.8), определить оригинал i₂(t).

           Ответ:    i₂(t) = 2,5 – 0,825 .

13.    Для схемы, изображенной на рис. 7.9, определить:                          
1) операторную передаточную функцию H_u(p);                                   
2) найти АЧХ цепи.

            Ответ: