9.1. Интеграл Фурье

Для анализа переходных процессов при воздействии на цепь сигналов произвольной формы наряду с временным и оператор­ным методом широко используется частотный метод анализа, бази­рующийся на спектральных представлениях сигнала.

Для непериодических сигналов используются спектральные представления, основанные на паре преобразований Фурье. Преоб­разование Фурье может быть получено предельным переходом от ряда Фурье (5.6). Для этого зададим непериодический сигнал f(t), удовлетворяющий условию абсолютной  интегрируемости в беско-

неч­ных пределах  (рис. 9.1): . С физической точки

зрения, это означает, что задается реализуемый сигнал с конечной энергией; при этом

где М, с₀ — положительные постоян­ные величины.

Условие (9.1) означает, что модуль |f(t)| имеет ограниченный показатель роста. Превратим мысленно этот сиг­нал в периодиче­ ский повторением его через период Т (см. рис. 9.1). К полу­ченному таким образом сигналу при­ме­нимо разло­жение (5.6), которое пос­ле перехода к переменной t можно записать в виде

где

После подстановки А_k в уравнение (9.2) с учетом (9.3) получаем

Переходя в уравнении (9.4) учитывая, что при этом w₁ dw и kw₁ w, а сумма вырождается в интеграл, полу­чаем для исходного сигнала

Внутренний интеграл в уравнении (9.5) носит название спектра сигнала F(jw):

Тогда формула (9.5) принимает вид

Уравнения (9.6) и (9.7) являются основными в теории спект­рального анализа, причем (9.6) называется прямым, а (9.7) — об­ратным преобразованием Фурье. По аналогии с А_k спектр F(jw) является в общем случае комплексной функцией частоты и может быть записан в алгебраической форме

и показательной форме

где

Модуль

определяет амплитудный, а аргумент

— фазовый спектр сигнала. Причем, как и для периодического сигнала, амплитудный спектр является четной, а фазовый — нечет­ной функцией частоты. Физический смысл преобразования Фурье лучше всего проявляется при представлении обратного преоб­разования (9.7) в тригонометрической форме. Если подставить вместо F(jw) в (9.7) его значение из (9.9), то получим

Учитывая, что |F(jw)| — четная, а синус — нечетная функция частоты интеграл от второго слагаемого равен нулю. Следова­тельно, принимая во внимание четность подынтегрального выраже­ния в первом слагаемом, обратное преобразование Фурье имеет вид

Из (9.13) следует важнейший вывод о том, что непериодиче­ский сигнал может быть представлен пределом суммы (интеграл) бесконечно большого числа бесконечно малых гармонических ко­лебаний с амплитудами (1/p)|F(jw)| и начальными фазами j = j(w), причем, учитывая, что разность частот соседних гармоник беско­нечно мала Dw = dw, то F(jw) в уравнении (9.13) представляет непрерывный сплошной спектр в отличии от спектра периодиче­ского сигнала, который является дискретным (линейчатым) (см, гл. 5). Поэтому F(jw) называют комплексной спектральной плот­ностью, a |F(jw)| — спектральной плотностью амплитуд неперио­дичес­кого сигнала.

Смысл комплексного спектра F(jw) следует из связи между спектрами периодических и непериодических сигналов. Сравнение уравнений (9.3) с (9.6) позволяет установить эту связь между спектрами:                                                                               

и спектр комплексных амплитуд A_k обращается в комплексную спектральную плотность F(jw).

Из (9.14) следует и другой важный вывод: модуль спектраль­ной плотности непериодического сигнала и огибающая линейчатого спектра периодического сигнала, полученного повторением с пе­риодом Т непериодического сигнала, совпадают по форме и отли­чаются только масштабом. Это наглядно можно проиллюстриро­вать на примере периодической последовательности прямоуголь­ных импульсов (см. рис. 5.3, а): с увеличением периода (скваж­ности q) спектр становится гуще (см. рис. 5.4, б) и в пределе при T = ¥ периодический сигнал превращается в непериодический (рис. 9.2), а дискретный спектр обращается в сплошной (рис. 9.3). При этом огибающая как линейчатого, так и сплошного спектра описывается функцией отсчетов (5.29): sinx/x.

Рассмотрим некоторые основные свойства преобразования Фурье. Если сигнал f(t) является четной функцией времени, то, его спектр F(jw) — вещественный. Действительно, согласно (9.6) для F(jw) можно записать:

Второй интеграл равен нулю в силу нечетности подынтеграль­ной функции, следовательно,

Аналогично при нечетности сигнала f(t) спектр F(jw) является чисто мнимым.

Важным свойством преобразования Фурье является взаимоза­меняемость переменных t и w. Для четного сигнала f(t) и веще­ственного спектра F(jw) можем заменить в преобразовании (9.6) знаки перед jwt:

Тогда сравнивая (9.16) и (9.7) видим их подобие. Взаимозаме­няемость переменных в преобразовании Фурье позволяет устано­вить связь между частотными и временными характеристиками сигнала (см. § 9.5).

В соответствии с (9.8) и (9.9) сигнал может быть задан либо с помощью своего амплитудного |F(jw)| и фазового спектра j(w), либо с помощью вещественной A(w) и мнимой частей B(w) спектра сигнала. Причем, все они взаимосвязаны между собой согласно (9.11)—(9.12), т. е. нельзя задавать независимо амплитудный |F(jw)| и фазовый спектр j(w), или вещественную A(w) и мни­мую часть спектра B(w).

Наиболее ясно эта связь проявляется для сигнала, заданного на положительной полуоси времени t:

Перепишем (9.13) в форме

Или учитывая, что

при t  0 получим:

и при t < 0 с учетом (9.17)

Суммируя и вычитая равенства (9.19) и (9.20), получаем:

Отсюда следует связь между вещественной A(w) и мнимой B(w) частями спектра сигнала:

т. е. в данном случае сигнал f(t) полностью определяется только вещественной A(w) или мнимой B(w) частями комплексного спект­ра F(jw).

В заключение отметим, что при w = 0 спектр (9.6) принимает значение

т. е. будет равен площади, ограниченной сигналом f(t). Формула (9.23) позволяет в ряде случаев оценить спектр сигнала по виду функции f(t).

Следует подчеркнуть, что временное и спектральное представление является просто двумя формами (моделями) представления реального физического процесса, и они лежат в основе временных и частотных методов анализа электрических цепей.

В заключение установим связь между преобразованием Фурье и преобразованием Лапласа. Если положить, что f(t) удовлетво­ряет условию (9.17), то прямое преобразование Фурье принимает вид

Соотношение (9.24) носит название одностороннего преобразова­ния Фурье, так как оно определяется на положительной полуоси t. Если принять в качестве частного случая в формуле (7.1) a = 0, то р = jw, и прямое преобразование Лапласа (7.2)

т. е. полностью совпадает с односторонним преобразованием Фурье (9.24).

Аналогично получим для обратного преобразования Лапласа (7.4) с учетом того, что dp = jdw:

что полностью совпадает с (9.7).

Таким образом, преобразование Фурье есть частный случай преобразования Лапласа при a = 0. Следует подчеркнуть, что пре­образование Фурье имеет более узкую область применения, чем преобразование Лапласа, так как условие (9.1), которым должны удовлетворять функции, преобразуемые по Фурье более жесткое, чем условие (7.3). Всякая функция, для которой применимо пре­образование Фурье (9.6) всегда может быть преобразована по Лапласу, но не наоборот. В этой связи изображение F(p) можно трактовать как своего рода обобщенный спектр сигнала f(t).

9.2. Основные теоремы спектрального анализа

Как было установлено выше, между сигналом и его спектром существует однозначная связь, определяемая прямым преобразо­ванием Фурье. Поскольку в процессе передачи сигнала он под­вергается различным преобразованиям, очень важно установить как при этом изменяется спектр сигнала. Это имеет большое значение с точки зрения выбора оптимальных методов передачи, приема, требований к параметрам канала связи.

Рассмотрим основные теоремы о спектрах, имеющих практиче­ское применение в электросвязи. Учитывая связь между преобра­зованием Фурье и Лапласа и имея в виду доказательства основных теорем, данных в § 7.1, остановимся только на физической интер­претации основных теорем спектрального анализа.

Спектр суммы сигналов (теорема линейности) равен сумме спектров этих сигналов. Это свойство является следствием линей­ности преобразования Фурье. В более общем виде оно может быть записано следующим образом:

где a_k — коэффициенты разложения;  — знак соответствия между сигналом и его спектром, определяемого парой преобразований Фурье.

Сдвиг сигнала во времени f(t—t₀) соответствует умножению его спектра на :

Из (9.28) следует важный вывод о том, что при сдвиге сигнала во времени его амплитудный спектр не изменяется, а фазовый изме­няется пропорционально wt₀. Эта теорема имеет большое значение, так как в процессе обработки сигналов часто возникает необходи­мость осуществлять задержку сигнала (см. гл. 18, 19).

Изменение масштаба независимого переменного (сжатие сиг­нала) описывается выражением

Из (9.29) следует, что сжатие сигнала во времени (а > 1) приво­дит к расширению спектра сигнала и напротив — растяжение сиг­нала (а < 1) — к сужению спектра.

Перемножение двух сигналов (теорема свертки). Спектр про­изведения двух функций f₁(t) и f₂(t) соответствует свертке их спектров F₁(jw) и F₂(jw):

Важное значение имеет обратная теорема о произведении спектров сигналов:

Свертка функций широко использовалась ранее во временных ме­тодах анализа электрических цепей (см. гл. 8).

Дифференцирование и интегрирование сигнала. При дифферен­цировании сигнала его спектр умножается на оператор jw:

а при интегрировании делится на jw:

Доказательство (9.32)—(9.33) следует непосредственно из прямого и обратного преобразований Фурье. Следует подчеркнуть, что (9.33) справедливо для сигналов, удовлетворяющих условию F(0) = 0.

Смещение спектра сигнала на частоту  соответствует умно­жению сигнала на оператор :

Теорема смещения (9.34) позволяет определить спектр модули­рованного сигнала и имеет большое значение в теории электриче­ской связи.

9.3. Распределение энергии в спектре
непериодического сигнала

Определим энергию сигнала f(t) по его спектральной характе­ристике F(jw). Предположим, что f(t) представляет собой напря­жение или ток, протекающий в единичном сопротивлении R = 1 Ом. Тогда согласно (1.4) энергия выделяемая f(t) будет равна

Представим подынтегральное выражение (9.35) в виде произве­дения  и применим к f(t) обратное преобразование Фурье (9.7):

Учитывая независимость переменных t и w, перепишем последнюю формулу в виде

Внутренний интеграл представляет собой сопряженный спектр F(—jw). Если учесть, что , то получим сле­дующее равенство Парсеваля (теорема Рэлея):

Из уравнения (9.36) следует, что величина |F(jw)|² представ­ляет собой энергию сигнала, приходящуюся на 1 с^–1 текущей ча­стоты w, поэтому квадрат модуля спектра |F(jw)|² называют спектральной плотностью энергии сигнала. Вид модуля |F(jw)| позволяет судить о распределении энергии в спектре непериодиче­ского сигнала. Равенство Парсеваля широко используется в теории цепей и сигналов при выборе полосы пропускания канала связи, обеспечивающей наилучшее использование энергии сигнала.

Следует отметить, что в отличие от формулы (5.23), где рас­сматривалась средняя за период Т мощность периодического несинусоидального сигнала, для непериодического сигнала такое усред-­

нение невозможно ( ). Общим для обеих случаев является

то, что мощность и энергия сигналов не зависят от фаз спектраль­ных составляющих.

9.4. Спектры типовых сигналов

Определим спектры наиболее распространенных типов электри­ческих сигналов.

Единичная функция задается уравнением (7.19) (см. рис. 7.2, а). Строго говоря, функция (7.19) не удовлетворяет условию абсо­лютной интегрируемости (см. § 9.1), поэтому воспользуемся сле­дующим приемом: умножим 1(t) на «гасящий» множитель е^–ct (с = const). При этом можно использовать прямое преобразо­вание Фурье (9.6):

Преобразование F(jw, c) носит название обобщенного преобразо­вания Фурье. Для получения спектра единичной функции перейдем к пределу:

Из уравнения (9.38) получаем амплитудный |F(jw)| = 1/w (рис. 9.4, а) и фазовый спектр функции j(w) (рис. 9.4, б): j(w) = = —p/2, т. е. амплитудный спектр при w = 0 обращается в бесконеч­ность, что свидетельствует о наличии в исходной функции 1(t) скачка при t = 0 (см. рис. 7.2, а). Для образования этого скачка в соответствии с (9.38) при t = 0 осуществляется суммирование бесконечно большого числа синусоидальных составляющих. Спектр (9.38) может быть получен и с помощью изображения единичной функции (7.20):

Единичная импульсная функция. Функция d(t) задается анали­тически условиями (7.21). Для нахождения спектра d-функции воспользуемся прямым преобразованием Фурье (9.6), которое с учетом (9.8)—(9.10) можно записать в виде

Так как второе слагаемое равно нулю, а первое — единице вслед­ствие свойств (7.21)—(7.23), то окончательно получим

Таким образом, d-функция имеет равномерный амплитудный и нулевой фазовый спектры. Равенство нулю на всех частотах фазового спектра означает, что все гармонические составляю­щие d-функ­ции, суммируясь с нулевыми начальными фазами, обра­зуют при t = 0 пик бесконечно большого значения.

Следует отметить, что сдвиг d-функции на время t приводит согласно свойствам преобразования Фурье (см. § 9.2) к спектру , т. е. амплитудный спектр функции d(t—t) остается прежним, а фазовый изменяется пропорционально wt.

Из равенства (9.39) согласно обратному преобразованию Фурье (9.7) следует, что

Учитывая условие взаимозаменяемости параметров t и w (см. § 9.1), последнее выражение можно переписать в следующем виде:

Уравнения (9.40) и (9.41) широко используются в теории сиг­налов и цепей.

Спектр постоянной составляющей функции a₀/2 = 1/2 с учетом (9.41) определяется уравнением

Таким образом, спектр постоянной составляющей равен нулю на всех частотах, кроме w = 0, где F(jw) обращается в бесконеч­ность, то есть имеем на частоте w = 0 дискретную составляющую частоты в форме d-функции.

Спектр гармонического колебания. Проиллюстрируем методику использования прямого преобразования Фурье при определении спектра гармонического колебания

Преобразование (9.6) для функции (9.43) имеет вид

Формально функция (9.43) не удовлетворяет условию абсолют­ной интегрируемости, так как имеет показатель роста с = 0. По этому для вычисления интеграла (9.44) воспользуемся формулой Эйлера (3.18) и уравнением (9.41):

т. е. гармоническое колебание имеет дискретный спектр, состоя­щий из двух спектральных линий на частотах ±w₀.

Спектр одиночного прямоугольного импульса (см. рис. 9.2) мож­но найти как непосредственно из прямого преобразования Фурье (9.6), так и путем предельного перехода при q ® ¥ (T® ¥) в разложении (5.27). В результате получим

На рис. 9.3 изображен спектр одиночного импульса. Сравнение рис. 9.3 и рис. 5.4 показывает, что по своей форме спектр одиноч­ного импульса совпадает с огибающей дискретного спектра после­довательности периодических импульсов, однако спектр одиночного импульса является сплошным.

Из условия взаимосвязи между частотными и временными ха­рактеристиками сигнала следует, что сигнал с ограниченным по частоте ±w₀ спектром прямоугольной формы (рис. 9.5, а) имеет бесконечную протяженность и форму, аналогичную спектру прямо­угольного импульса (рис. 9.5, б).

Спектр радиоимпульса (рис. 9.6) можно найти как произведе­ние видеоимпульса прямоугольной формы (рис. 9.7) и гармониче­ского колебания (9.43). Тогда, воспользовавшись теоремой сверт­ки (9.30), получим:

На рис. 9.8 показан вид спектра радиоимпульса.

Аналогичным образом можно найти спектр сигналов и более сложной формы.

Пример. Найти спектр экспоненциального импульса

В соответствии с прямым преобразованием (9.6) получаем

где  — амплитудный (рис. 9.9, а) и —фазо­вый (рис. 9.9, б) спектры сигнала.

Пример 2. Определить спектр затухающего колебания (рис. 9.10)

Согласно (9.6) находим

Отсюда находим спектры:

амплитудный (рис. 9.11, а)

и фазовый (рис. 9.11, б)

В таблице 9.1 приведены спектры некоторых наиболее распространенных сигналов.

9.5. Частотный анализ линейных электрических цепей
при непериодических воздействиях

Представление непериодических сигналов в форме интеграла Фурье (9.6) и (9.7) позволяет применить к бесконечно малым гармоникам, составляющим его спектр, частотные методы анализа рассмотрены в гл. 3 и 4. В частности, если цепь находится при нулевых начальных условиях (т. е. до начала входного воздей­ствия в реактивных элементах цепи не была накоплена энергия электрического и магнитного полей), то по аналогии с (3.46), (3.48) и (3.49) можно записать законы Ома и Кирхгофа для спектров:

>где I(jw), U(jw) — спектры токов и напряжений ветвей соответ­ственно; ₁Z(jw) и Y(jw) имеют смысл комплексных сопротивлений и  проводимостей  ветвей*. Законы  Ома  и Кирхгофа для спектров

позволяют распространить рассмотренные ранее частотные методы анализа цепей при гармонических и периодических несинусоидаль­ных воздействиях на непериодические сигналы.

В случае, если необходимо найти выходную реакцию цепи в виде четырехполюсника при воздействии на входе непериодиче­ского сигнала, используют комплексную передаточную функцию цепи (см. § 4.1). При этом спектр выходной реакции согласно (4.1) и (4.2)

После определения спектра F₂(jw) выходная реакция f₂(t) может быть найдена с помощью обратного преобразования Фурье (9.7) или по таблицам.

Пример. Рассчитать спектральную плотность выходного сигнала в цепи (рис. 9.12), если на вход действует единичный импульс (рис. 9.7) с амплитудой U₁ = 4 В.

Для заданного входного сигнала (3.15) преобразование Фурье дает выражение

                           ,

которое после преобразований принимает более удобную форму (см. (9.46)):

                 .                 

Комплексная спектральная плотность выходного сигнала находится по формуле (9.51)

                                   ,                                    

где  – комплексная передаточная функция цепи по напряжению. Функция  находится как отношение комплексного значения гармонического напряжения  на выходе цепи к комплексному значения гармонического напряжения  той же частоты, приложенному ко входу цепи:

При этом спектральная плотность выходного сигнала:

.

Отсюда находим модули: спектральной плотности входного напряжения

;

АЧХ цепи

                        ;                        

спектральной плотности выходного напряжения

             .              

На рис. 9.13 изображен спектр входного сигнала, АЧХ цепи и спектр выходного сигнала .

9.6. Условия безыскаженной передачи сигналов
через линейную цепь

Частотный метод является достаточно эффективным и нагляд­ным при анализе передачи сигналов через линейную систему. Он позволяет оценить частотные искажения в канале связи, требова­ния к характеристикам электрической цепи. Особенно важно опре­делить требования к АЧХ и ФЧХ цепи с точки зрения искажения формы сигнала. Определим условия неискажаемой передачи сиг­нала через линейную систему. Предположим, что на входе линейной цепи, как четырехполюсника действует сигнал f₁(t) опреде­ленной формы (рис. 9.12). На выходе в результате прохождения сигнала через четырехполюсник с комплексной передаточной функ­цией H(jw) амплитуда сигнала может измениться (на рис. 9.12 уменьшилась), и сигнал вследствие конечности скорости его рас­пространения может запаздывать относительно входного воздей­ствия на t₀. Однако важно, чтобы при этом не изменилась форма сигнала. Таким образом, условие безыскаженной передачи можно сформулировать с помощью равенства

где k – некоторая вещественная постоянная; t₀ – время задержки (запаздывания) выходного сигнала относительно входного. При­менив к (9.52) прямое преобразование Фурье и учтя свойство ли­нейности и теорему запаздывания (см. § 9.2), перепишем усло­вие (9.52) в частотной области:

Так как комплексная передаточная функция цепи с учетом (4.5) должна быть

то отсюда получаем требование к АЧХ и ФЧХ неискажающей цепи

т. е. для того, чтобы линейная цепь не искажала форму сигнала ее АЧХ долж­на быть равномерной (рис. 9.13, а), а ФЧХ – линей­ной (рис. 9.13, б).

Условие безыскаженной передачи во всем частотном диапазоне можно выполнить лишь для резистив­ных цепей*. В цепях с реак­тивными элементами условия (9.54) и (9.55) можно обеспечить лишь в ограниченном частот­ном диапазоне w₀ (на рис. 9.13 пока­зано пунктиром).

В этой связи представляет практичес­кий интерес вопрос о влия­нии на форму сигнала отклонения АЧХ и ФЧХ от идеальной. Рас­смотрим в качестве примера прохождение сигнала в форме еди­ничной функции, в форме единичного импульса и импульса прямо­угольной формы через цепь с АЧХ, изображенной на рис. 9.14. Эта цепь соответствует идеальному ФНЧ (см. гл. 17) и задается усло­вием

Фильтр нижних частот пропускает без искажений все частотные составляющие от 0 до w₀ и задерживает составляющие больше w₀.

Единичный импульс. Рассмотрим вначале входной сигнал f₁(t) в форме единичного импульса (рис. 7.2, б). Так как для единич­ного импульса F₁(jw) = 1, то с учетом (9.56) и обратного преобра­зования Фурье (9.7), получим:

Учитывая, что второй интеграл равен нулю, окончательно после интегрирования получаем:

На рис. 9.15 изображена форма выходного сигнала f₂(t), опре­деляемая функцией (9.57). Из рисунка видно, что форма выход­ного сигнала существенно отличается от входного импульса f₁(t): он искажается по форме и растягивается во времени (теорети­чески на бесконечность), что отражает установленное ранее соот­ношение между длительностью сигнала и шириной его спектра: сигнал ограниченный по частоте — бесконечен во времени и наобо­рот (см. § 9.4). Запаздывание выходного сигнала t₀ определяется крутизной ФЧХ: t₀ = —dj/dw). С увеличением w₀ (с расширением по­лосы пропускания фильтра) ширина главного лепестка импульса равная 2p/w₀ — сужается, задержка t₀ уменьшается, амплитуда импульса увеличивается. Важно отметить, что теоретически со­гласно (9.57) сигнал f₂(t) существует и при t < 0, т. е. до воздей­ствия входного сигнала, что конечно, противоречит условию физи­ческой реализуемости и является следствием идеализации АЧХ ФНЧ.

Единичный сигнал. Рассмотрим теперь прохождение сигнала в форме единичной функции (рис. 7.2, а) через ФНЧ с характеристикой (9.56). Запишем уравнение единичной функции 1(t) в инте­гральной форме*:

Интеграл в (9.58) можно рассматривать как вещественную форму обратного преобразования Фурье (9.7) для нечетной функции f(t) = 1(t) – 1/2, спектр которой равен 1/w. Тогда на основании (9.58) и с учетом условий (9.52) и (9.56), для выходного сигнала можно записать:

Интеграл в (9.59) табулирован и носит название интегрального си­нуса: Si[w(t – t₀)]. На рис. 9.16 приведен график сигнала на выходе идеального ФНЧ, определяемой функцией (9.59).

Как следует из представленного графика, чем уже полоса про­пускания ФНЧ (меньше w₀), тем меньше крутизна фронта на­растания импульса: df₂/dt = w₀/p. Таким образом, как и в случае единичного импульса для уменьшения искажений выходного сиг­нала необходимо расширять полосу пропускания ФНЧ. Выбросы в выходном сигнале обусловлены теми же причинами, что и в слу­чае, изображенном на рис. 9.15 (идеализация АЧХ ФНЧ).

Прямоугольный импульс можно рассматривать как разность двух единичных функций сдвинутых относительно друг друга на t_и/2 (рис. 9.17). Тогда учитывая линейность цепи и равенство (9.59) получим уравнение выходного сигнала для этого случая:

На рис. 9.18 изображен вид выходного сигнала f₂(t), т. е., как и в предыдущих случаях, длительность фронта нарастания и спада импульса обратно пропорциональна полосе пропускания цепи w₀. Чем уже полоса, тем более затянут фронт импульса; чем меньше длительность импульса, тем шире должна быть полоса пропуска­ния цепи. Обычно на практике полосу пропускания выбирают из условия: S_A = 2/t_и.

9.7. Связь между временными и частотными
характеристиками электрических цепей

Рассмотренные в гл. 8 и 9 временной и частотный методы ана­лиза переходных процессов базируются на двух взаимосвязанных характеристиках электрических цепей: импульсной или переходной, с одной стороны, и комплексной передаточной функции, с другой. Между этими характеристиками существует однозначное соответ­ствие. Определим эту связь. Допустим, что на вход пассивной элек­трической цепи с комплексной передаточной функцией H(jw) при­ложено воздействие в виде единичной импульсной функции. Тогда с учетом того, что спектр единичного импульсного сигнала равен единице (см. (9.39)), спектр выходного сигнала согласно (9.51) будет:

Обратное преобразование (9.7) определит выходной сигнал f₂(t), который численно равен импульсной характеристике цепи:

Аналогично с учетом условия физической реализуемости (8.14) можно записать прямое преобразование Фурье:

Таким образом, приходим к важному выводу: импульсная и комплексная передаточные функции пассивной электрической цепи связаны между собой парой преобразования Фурье (9.62) и (9.63). А это, в свою очередь, означает, что импульсная характеристика однозначным образом определяет комплексную передаточную функцию цепи и наоборот. Причем, для h(t) и H(jw) справедливы все свойства и теоремы, рассмотренные в § 9.2. В частности, из теоремы изменения масштаба независимого переменного следует, что чем более растянута во времени импульсная характеристика цепи, тем уже ее АЧХ и наоборот. В § 9.6 было показано, что для неискажающей линейной цепи АЧХ должна быть равномерна, а это соответствует согласно (9.40) импульсной характеристике цепи в виде d-функции, что полностью подтверждает изложенное.

Связь комплексной передаточной функции с переходной харак­теристикой также определяется однозначно, поскольку последняя связана соотношением (8.2) с импульсной характеристикой цепи. Для установления этой связи можно воспользоваться интеграль­ным представлением единичной функции (9.58):

с учетом формулы Эйлера (3.18) перепишем (9.64):

Если ко входу электрической цепи с передаточной функцией H(jw) = |H(jw)|e^jj(w)  приложена единичная функция (9.65), то сиг­нал на выходе цепи будет численно равен переходной характе­ристики g(t), спектр которой определяется согласно (9.51), где . Тогда после применения обратного преобразования Фурье с учетом (9.65) получим:

или

где

Таким образом, зная Н(jw), можно найти с помощью (9.66) также и g(t). Важно отметить предельное соотношение между g(t) и Н(jw), вытекающее непосредственно из свойств (7.17)—(7.18) и связи между преобразованием Фурье и Лапласа:

Эти соотношения означают, что реакция на выходе цепи от еди­ничного воздействия в установившемся режиме будет отлична от нуля, если передаточная функция на нулевой частоте не равна нулю (есть путь постоянной составляющей). И напротив, в началь­ный момент при t = 0 (момент коммутации) реакция на выходе будет изменяться скачком, если Н(¥) — не равна нулю, т. е. цепь имеет бесконечно большую полосу пропускания. Рассмотренные соотношения хорошо иллюстрируются условиями пропускания сиг­нала через линейную цепь (см. § 9.6).

В заключение рассмотрим связь между вещественной Н₁(w) и мнимой Н₂(w) частями комплексной передаточной функции (4.7). Перепишем (9.62) в форме

Отсюда, учитывая (4.7) и (4.8), получаем

Согласно условия физической реализуемости (8.14) при t < 0 h(t) = 0, поэтому (9.69) принимает вид

Отсюда, почленно складывая и вычитая (9.69) и (9.70), получаем уравнения связи импульсной характеристики с вещественной и мнимой частями комплексной передаточной функции H(jw):

Таким образом, для нахождения импульсной характеристики цепи достаточно воспользоваться частотной зависимостью только вещественной или мнимой частей H(jw). Из (9.71) следует также важный вывод о том, что нельзя независимо выбирать веществен­ную и мнимую части передаточной функции или, что то же самое, нельзя произвольно выбирать АЧХ и ФЧХ цепи, так как они свя­заны между собой определенной зависимостью (4.9), (4.10).

Вопросы и задания для самопроверки

1.    Какие существуют методы определения сигнала по спектру?

2.    Каким образом можно определить постоянную составляющую единичной функции, если известна спектральная плотность единичной функции?

3.    Чем отличаются сигналы с дискретным и сплошным спектрами?

4.    В каких случаях используется теорема свертки?

5.    Каким образом и зачем определяют полюсы спектральной функции?

6.    Что понимают под спектральной плотностью энергии сигнала?

7.    Зависит ли спектральная плотность энергии сигнала от формы (вида) сигнала и фазы спектральных составляющих?

8.    Как можно получить уравнение единичной функции в интегральной форме , если известно обобщенное преобразование Фурье единичной функции?

9.    Как связаны между собой импульсная, переходная и комплексная передаточная функции пассивной электрической цепи?

10.    В чем сущность частотного анализа линейных электрических цепей при негармонических воздействиях?

11.    Можно ли создать электрическую цепь для безыскаженной передачи сигнала во всем частотном диапазоне?

12.    Как связаны между собой комплексная амплитуда и комплексная спектральная плотность?

13.    В каких случаях при анализе сигналов применяются интеграл Фурье и ряд Фурье?

14.    Каким условиям должен удовлетворять сигнал, подвергаемый преобразованию Фурье?

15.    Пояснить физический смысл основных теорем спектрального анализа?

16.    Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа.

назад | оглавление |вперед