При расчете переходных процессов в разветвленных цепях классическим методом составляется система уравнений для мгновенных значений токов и напряжений по ЗТК и ЗНК. Затем полученная система сводится к дифференциальному уравнению соответствующего порядка относительно выбранной независимой переменной (иС или iL). После этого полученное уравнение решается по аналогии с уравнениями, рассмотренными в § 6.2—6.5.
В качестве примера рассмотрим разветвленную цепь второго порядка, изображенную на рис. 6.17. Для данной цепи имеем ненулевые начальные условия: uC(0– ) = U; iL(0– ) = 0. Составим для нее систему уравнений по законам Кирхгофа:
(6.86)
Выберем в качестве независимой переменной i2 = iL и, решая (6.86) относительно i2, получаем:
(6.87)
т. е. выражение (6.87) есть неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, аналогичное (6.37). Его решение, как обычно, находим в виде
(6.88)
где i2np = U/(R1 + R2), а i2св определим из решения однородного дифференциального уравнения
(6.89)
Решение последнего имеет вид, аналогичный (6.43), (6.51) или (6.59) в зависимости от вида корней характеристического уравнения
(6.90)
Постоянные интегрирования определяются из начальных условий и законов коммутации, причем для нахождения иС используется система уравнений (6.86). Например, для случая вещественных и различных корней при R1 = R2 = R получим
где A1 и А2 определяются из начальных условий и законов коммутации:
откуда
На рис. 6.18 изображены графики uC(t) и i2(t).
Как следует из вышеуказанного, для определения характера переходного процесса и записи уравнения свободной составляющей независимой переменной необходимо располагать характеристическим уравнением цепи. Это уравнение может быть получено из соответствующего дифференциального уравнения цепи или из анализа ее операторного сопротивления (см. § 7.3). Последнее может быть получено, если в уравнении для комплексного сопротивления цепи Z = Z(j
) заменить оператор j на р и приравнять его к нулю:
(6.91)
Например для цепи, изображенной на рис. 6.17, имеем:
Отсюда
или после преобразований
что полностью совпадает с (6.90).
Таким образом, отпадает необходимость преобразовывать систему уравнений к одному уравнению для выбранной независимой переменной.
В заключение следует отметить, что применение классического метода расчета к цепям более высокого порядка встречает определенные трудности. Главное из них резко возрастающий объем необходимых вычислений, связанных с решением задач уравнений высокого порядка. В этой связи в последнее время все большее применение находят другие методы расчета переходных процессов: метод переменных состояний, операторный и частотные методы, которые будут рассмотрены ниже.