Так как свет представляет собой электромагнитную волну, а ее распространение в любой среде описывается уравнениями Максвелла, распространение света может рассматриваться путем определения развития связанных с ним векторов напряженности () и индукции () электрического поля, а также векторов напряженности () и индукции () магнитного поля. Последние связаны между собой и параметрами среды распространения следующими уравнениями Максвелла, при условии, что проводимость среды [10]:

;(3.1.1)

;(3.1.2)

;(3.1.3)

;(3.1.4)

;(3.1.5)

.(3.1.6)

Диэлектрическая ( ) и магнитная ( ) проницаемости описывают материалы, используемые в ВОСП, которые могут быть линейными и нелинейными, изотропными и анизотропными, однородными и неоднородными, дисперсионными и недисперсионными. У абсолютного большинства материалов, используемых в ВОСП, = ₀ – магнитная проницаемость вакуума.

В зависимости от свойств параметров , и различают следующие среды [10]:

• линейные, в которых параметры , и не зависят от величины электрического и магнитного полей;
• нелинейные, в которых параметры , и (или хотя бы один из них) зависят от величины электрического и магнитного полей.

Все реальные среды, по существу, являются нелинейными. Однако при не очень сильных полях во многих случаях можно пренебречь зависимостью , и от величины электрического и магнитного полей и считать, что рассматриваемая среда линейна. Линейные среды делятся на однородные и неоднородные, изотропные и анизотропные.

Однородными называют среды, параметры , и которых не зависят от координат, то есть свойства среды одинаковы во всех ее точках. Среды, у которых хотя бы один из параметров , или являются функцией координат, называют неоднородными. Несмотря на то, что кварц является однородной средой, оптическое волокно неоднородно из-за того, что показатели преломления сердцевины и оболочки различны. Поэтому области сердцевины и оболочки в волокне со ступенчато изменяющимся профилем показателя преломления могут рассматриваться как однородные среды, в то время как в градиентном волокне это допущение неприемлемо, ввиду его неоднородной сердцевины [10].

Если свойства среды одинаковы по разным направлениям, то среду называют изотропной. Соответственно среды, свойства которых различны по разным направлениям, называют анизотропными. В изотропных средах вектор электрической поляризации () и вектор () , векторы () и (), а также векторы магнитной поляризации () и (), векторы () и () параллельны, а в анизотропных средах они могут быть непараллельными. В изотропных средах параметры , и - скалярные величины. В анизотропных средах, по крайней мере, один из этих параметров является тензором. В кристаллическом диэлектрике таким тензором является диэлектрическая проницаемость .

Непараллельность векторов и (а также и ) в анизотропной среде объясняется тем, что в общем случае направление возникающего в результате поляризации анизотропной среды вторичного электрического поля, созданного связанными зарядами вещества, составляет некоторый угол (отличный от 0 и ) с направлением первичного электрического поля. В изотропной среде электромагнитные свойства, такие как показатель преломления, одинаковы во всех направлениях, а и являются векторами одинаковой ориентации, а так как кварц представляет собой изотропную среду, идеально цилиндрическое оптическое волокно также является изотропным.

Среда, показатели преломления которой вдоль двух разных направлений соответствующей системы координат, например, вдоль осей х и у, различны, называется двухлучепреломляющей. Двухлучепреломление ряда материалов, например ниобата лития, используется в таких волоконно-оптических компонентах, как модуляторы, изоляторы и настраиваемые фильтры [10].

Среда, в которой = const, то есть однородна по координатам пространства и не зависящая от частоты, называется однородной недисперсионной средой. В ней все частотные составляющие сигнала распространяются с одной и той же фазовой скоростью. Следовательно, сигнал не претерпевает дисперсии. Большинство оптических сред характеризуется тем, что диэлектрическая проницаемость и, как следствие, фазовая скорость являются функциями от частоты, то есть

= ( ),(3.1.7)

=( ).(3.1.8)

Это значит, что косинусоидальные волны

,(3.1.9)

разных частот распространяются с различными фазовыми скоростями, что приводит к расширению сигнала, то есть к появлению дисперсии [10].

В последнем выражении (3.1.9): А – амплитуда волны; – круговая частота; – единичный вектор, нормальный к плоскости, в которой находится плоская волна; – координата точки наблюдения.

Как уже отмечалось, всестороннее исследование характеристик ОВ может быть проведено только на основе волновой теории, путём решения уравнений Максвелла, которые для продольных составляющих электрического Е_z и магнитного Н_z полей применительно к сердцевине двухслойного ОВ, ось которого совмещена с осью z цилиндрической системы координат, имеют вид [7]

,
,(3.2.1)

где

–поперечный коэффициент распространения волны в сердцевине волокна;

–продольный коэффициент распространения;

n –коэффициент преломления.

k₀ –волновое число;

₀ и ₀ – диэлектрическая и магнитная проницаемость среды соответственно, а индексы 1 и 2 соответствуют параметрам сердцевины и оболочки. Поскольку волокно выполняется из немагнитного материала, то ₀ = 1, следовательно .

Как известно, в силу отличия физических процессов распространения волн в сердцевине и оболочке ОВ для решения данных систем уравнений используются различные функции. Так, для сердцевины решения ищутся в виде функций Бесселя и записываются как [7]

Решения уравнений для оболочки выражаются через функцию Ганкеля и имеют вид

.

Поперечные составляющие векторов сердцевины и оболочки выражаются через комбинацию продольных составляющих Е_z и Н_z и при r R представляются в виде

Соответственно при r R имеем:

Постоянные интегрирования A, B, C, D в последних выражениях определяются из граничных условий на поверхности раздела сред при
r = R, которые задаются как

В результате имеет место следующая однородная система уравнений:

Приравнивая к нулю определитель полученной системы уравнений, решение ищется относительно в виде так называемого основного дисперсионного уравнения [7]:

.(3.2.2)

Данное уравнение позволяет найти решение относительно и рассчитать структуру поля в сердцевине и в оболочке оптического волокна, зная значения поперечных коэффициентов распространения и .

В общем случае уравнения такого вида имеют ряд решений, каждому из которых соответствует определённый тип волны, называемый модой, которая определяется сложностью структуры поля, в частности числом максимумов и минимумов в поперечном сечении, и обозначается двумя числовыми индексами n и m. Индекс n означает число изменений поля по периметру ОВ, а индекс m – число изменений поля по диаметру.

В оптическом волокне могут распространяться два типа волн: симметричные продольные Е_nm и Н_nm, у которых по одной продольной составляющей, и несимметричные волны, имеющие одновременно по две продольные составляющие, одна из которых ЕН_nm с преобладанием электрической составляющей Е_z и другая НЕ_nmс преобладанием магнитной составляющей Н_z. При m>0 имеем гибридные моды, а при m=0 – поперечные моды TE₀₁ и TH₀₁.

В случае симметричных мод, у которых поле не зависит от азимутального угла , правая часть дисперсионного уравнения равна нулю, и оно распадается на два уравнения:

(3.2.3)

первое из которых определяет характеристики составляющих направлений магнитных Н-мод, в которых Е_z=0, Н_z 0, а второе – электрических Е-мод с Е_z 0 и Н_z=0.

Очевидно, что изменение значений n₁, n₂, r и приводит к изменению числа решений данных дисперсионных уравнений и, следовательно, числа распространяющихся в волокне симметричных мод.

Чем меньше диаметр d_c, тем меньше сечение светового потока, поступающего в оптическое волокно, тем меньше различных типов колебаний (обусловленных множеством решений уравнения Максвелла), или мод, возникает в оптоволокне. Волокно, в котором распространяется несколько мод, называется многомодовым (ММ), а то, в котором распространяется одна мода - одномодовым (ОМ). Для промышленно выпускаемых световодов ОМ-волокно имеет диаметр 7-10 мкм, а ММ-волокно - 50; 62,5; 85 и 100 мкм . В ОМ-волокне поддерживается только одна гибридная мода НЕ₁₁, называемая основной модой, в ММ-волокне поддерживаются различные, как поперечные, так и гибридные, моды.

Условием существования направляемой моды является экспоненциальное убывание её поля в оболочке вдоль координаты r, причём степень уменьшения напряжённости с ростом r определяется значением , уменьшение которого приводит к перераспределению поля в оболочку ОВ – появлению вытекающих волн. При =0 происходит качественное изменение волнового процесса, заключающегося в невозможности существования направляемой моды. Этот режим называется критическим, в связи с чем очень важно определение условий его возникновения, что можно осуществить подстановкой в последнее уравнение значения =0, в результате чего правые части уравнений обращаются в бесконечность и для Е и Н мод будет справедливо условие [7]

I₀`( r)=0,(3.3.1)

которое определяет границы их возникновения или исчезновения.

Последнее уравнение имеет бесчисленное множество решений, поэтому, обозначив положительный корень через p_0m, а также используя выражения для и , мы получим

.

Введём величину, которая носит название нормированной частоты

(3.3.2)

где а – радиус сердцевины волокна.

Это один из важнейших обобщающих параметров, используемых для оценки свойств ОВ, который связывает его структурные параметры и длину световой волны, распространяемой в волокне.

С увеличением радиуса сердцевины волокна величина V растет, а с увеличением длины волны уменьшается. В табл. 3.1. приведены соотношения нормированной частоты, длины волны и радиуса сердцевины при различных значениях коэффициента преломления оболочки (n₁=1,51) [11].

Одномодовый режим реализуется, если нормированная частота V≤2,405.Чем меньше разность ∆n=n₁-n₂, тем при большем радиусе световода обеспечивается одномодовый режим.

В этом случае:

(3.3.3)

и при =0 для каждого из корней имеет место критическое значение нормированной частоты:

P_0m = _кр а = V_0m, где m = 1,2,3,…M, а

p₀₁ = 2,405; p₀₂ = 5,520; p₀₃ = 8,654 и т. д.

Если для некоторой симметричной моды нормированная частота больше её критического значения (V>V_0m), то она распространяется в ОВ, в противном случае – нет. Так, при 2,405<V<5,520 в ОВ распространяются моды Е₀₁ и Н₀₁, а при 5,520<V<8,654 к ним добавляются моды Е₀₂ и Н₀₂ и т.д., в то время как неравенство V<2,405 указывает на отсутствие симметричных мод.

Последняя формула позволяет определить значения критических длин волн _0m^кр для симметричных волн в виде [2]

,(3.3.4)

или, переходя к частоте,

.(3.3.5)

Очевидно, что для распространяющейся моды должно выполняться условие < _0m^кр, то есть V>V_0m, в противном случае этой моды нет.

В отличие от симметричных мод несимметричные имеют все шесть составляющих векторов электромагнитного поля и их невозможно разделить на электрические и магнитные. Критическая нормированная частота в этом случае определяется выражением [7]

V_nm = p_nm, n = 1, 2, 3 … N; m = 1, 2, 3, … M,(3.3.6)

где p_nm – положительный корень соответствующего трансцендентного уравнения, который характеризует тип волны (моду) и может быть определен из таблицы 3.2 [11]

Среди направляемых мод особое положение занимает мода НЕ₁₁, у которой критическое значение нормированной частоты = 0. Это основная (фундаментальная) мода ступенчатого ОВ, так как она распространяется при любой частоте и структурных параметрах волокна. С точки зрения геометрической оптики, она образуется лучом, вводимым вдоль оси волокна, так как только характеристики такого луча не зависят от условий отражения на границе “сердцевина – оболочка”. Выбирая параметры ОВ, можно получить режим распространения только этой моды, что реализуется при условии

.(3.3.7)

Минимальная длина волны, при которой в волокне распространяется фундаментальная мода, называется волоконной длиной волны отсечки, значение которой легко определяется из последнего выражения как

.(3.4.1)

Очевидно, что число направляемых мод в ОВ определяется числом решений дисперсионного уравнения по заданным значениям показателей преломления n₁ и n₂, радиуса сердцевины а и длины волны излучения. При этом изменение соотношения между указанными величинами приводит к изменению N. Общее число мод в ОВ со ступенчатым профилем показателя преломления можно определить как

(3.4.2)

Учитывая приведённые выше выражения для профилей показателей преломления, можно определить число мод для волокна с произвольным профилем как [7]

(3.4.3)

а при параболическом и ступенчатом профилях

N=V²/4 и N = V²/2 соответственно, (3.4.4)

где V –нормированная частота,

а –радиус сердцевины волокна,

n₁ –показатель преломления сердцевины волокна,

Таким образом, при равной нормированной частоте число направляемых мод у ОВ с параболическим показателем преломления в два раза меньше, чем у ОВ со ступенчатым, следовательно, его характеристики передачи существенно лучше.

Одной из основных характеристик одномодового волокна является распределение модового поля, определяемого ещё как модовое пятно, диаметр которого в случае гауссова луча равен ширине кривой распределения амплитуды оптического поля на уровне 1/е или ширине кривой распределения оптической мощности (интенсивности) в точке 1/е². Для его определения необходимо найти зависимость передаваемой мощности от смещения [7]

(3.5.1)

где E(r, ) и E(r`, `) – представленные в цилиндрической системе координат нормализованное распределение поперечного поля при Т=1 и d=0 и поле с переменной смещения d в направлении d соответственно.

При измерениях диаметр w₀ модового поля определяется с использованием функций распределения ближнего f(r) и дальнего F(q) полей, определяемых как корень квадратный из значения интенсивности соответствующей световой волны, обеспечивая условие [7]

где

r и – радиальное смещение и угловая координата в ближней и дальней зонах соответственно.

Отсюда, определив w или W, значение радиуса модового поля w₀ можно установить, используя соотношение

(3.5.2)

Это определение математически эквивалентно минимизации методом наименьших квадратов уравнения:

которая осуществляется в плоскости, перпендикулярной оси волокна.

Данное определение диаметра модового поля даёт совпадающие результаты как в ближнем, так и в дальнем поле и используется в процессе измерений.

1. Какой режим работы волоконного световода называется одномодовым, а какой многомодовым?
2. Чем определяется число направляемых мод в волоконных световодах?
3. Как определить границу одномодового режима?
4. В каких пределах находятся величины фазовых и групповых скоростей направляемых мод и чем объясняется их зависимость от длины волны излучения?
5. Каково соотношение между диаметрами оболочки и сердцевины многомодового ступенчатого и одномодового световода? Чем оно определяется?
6. Что такое критическая частота (длина волны) ОВ?
7. Что такое характеристическая (нормированная) частота?
8. Что такое длина волны отсечки?
9. Какой тип волн распространяется в одномодовом оптическом волокне?
10. Дайте определение моды.
11. Перечислите типы волн, которые распространяются в многомодовом ОВ.
12. Что такое диаметр модового пятна?