Различение сигналов в приемном устройстве обычно осуществляют путем установления некоторого "порога" на выходе приемника, фактически играющего роль "границы подпространств" сигналов S1 и S2 .

         На рис. 3.1. приведен некоторый дискретный сигнал х(t) (импульсы постоянного тока), на который накладывается флюктуационная помеха и проведена пунктирная линия, соответствующая выбранному порогу хп.

Если величина  x(t) < xп ,  приемник  выдает сигнал S1, если же x(t) > xп , приемник выдает сигнал S2. Как видно из рисунка, на отрезке времени  t1, t2  под действием сильной помехи величина х > xп , т. е. в этом случае приемник может выдать сигнал S2 , хотя передавался  S1.

         Различные критерии приема дискретных сигналов фактически отличаются способом установления величины порога. Данная задача проще всего решается с помощью "отношения правдоподобия". Для рассмотрения этого вопроса обратимся к рис. 3. 2.

         Если бы на входе приемника отсутствовали помехи, мы имели бы дело с "чистыми" сигналами S1 и S2  и задача разделения сигналов была бы очень проста. При наличии же помех сигналы искажаются и для их описания приходится использовать вероятностное пространство. Сами сигналы вместе с помехами описываются уже функциями плотности вероятности w(x/S1) и w(x/S2), которые изображены на рис. 3.2. (эти функции умножены также на весовые коэффициенты П12Р(S1) и П21Р(S2)).  На этом же рисунке показан порог хп.

         Заштрихованная часть рисунка левее хп имеет площадь, равную

        П21Р(S2)w(x/S2)dx = П21Р(S2)P(x/S2),                                (3.1)

а заштрихованная часть правее хп имеет  площадь, равную

        П12Р(S1)w(x/S1)dx = П12Р(S1)P(x/S1),                                (3.2)

         Сумма этих величин, в соответствии с формулой (2.1), есть средний риск Rср. Из рис. 3.2. видно, что Rср будет минимальным, когда минимальна суммарная площадь под кривыми. Это будет в том случае, если величина хп соответствует точке пересечения кривых на рис. 3.2. Следовательно, условием получения min{Rср} является такой порог хп, при котором наступает равенство ординат приведенных кривых, т. е.

              П12Р(S1)w(x/S1)dx = П21Р(S2)w(x/S2),                              (3.3)

откуда получаем следующее соотношение:

                 .                                                         (3.4)

Стоящее слева выражение называется отношением правдоподобия

                              l(х) = ,                                                  (3.5)

а w(x/S i), которая представляет собой плотность вероятности того, что принятый сигнал х образовался при передаче сигнала Si , обычно называется функцией правдоподобия (функцией правдоподобия является также любая монотонная функция от  w(x/Si), например log[ w(x/Si)]).

Чем больше значение w(x/S i), тем более вероятно, что х содержит сигнал  Si (это очевидно из рис. 3.2). Справа стоящее выражение называется пороговым отношением правдоподобия

                       l0 = .                                                              (3.6)

         Приемник, использующий отношение правдоподобия, работает следующим образом.

         1. Анализируя поступающий на его вход сигнал, вычисляет отношение правдоподобия l(х).

         2. По известным значениям априорных вероятностей Р(S1) и P(S2), а также заданным весовым коэффициентом П21 и П12, вычисляется пороговое отношение правдоподобия l0.

         3. Величина l(х) сравнивается с l0,

 Выражение (3.7) является правилом решения Ф(х) решающего устройства, показанного на рис.1.3.

         Правило решения (3.7) является общим для двоичных систем связи, использующих любой критерий оптимального приема ;  отличие только в значении порога l0 .

         Если приемник работает по критерию минимального среднего риска, величина l0 определяется формулой (3.6).

         Для критерия идеального наблюдателя, в этой формуле коэффициенты      

               П12 = П21 = 1 и  тогда       l0 = P(S2)/ P(S1) ,                    (3.8)

         Для критерия максимального правдоподобия

           П12 = 1/ P(S1) ,      П21 = 1/ Р(S2),  тогда    l0 =1.                 (3.9)

         Если приемник использует критерий Неймана-Пирсона, то отношение правдоподобия l(х) становится случайной величиной, так как в равенстве (3.1)   Р(у1/S2) = a     (задается потребителем). Пороговое отношение правдоподобия определяется как верхний предел интеграла          

                                                                 (3.10)

где w(l) - плотность распределения отношения правдоподобия l(х).

         Правило принятия решения приемником с использованием отношения правдоподобия рассмотрим на следующих примерах.

         Условия задачи.

         Пусть на вход приемника поступает аддитивная смесь сигнала (дискретная амплитудная модуляция) и помехи:

                          , где  i=1,2;

                          n(t) - флюктуационная помеха типа гауссовского шума с дисперсией  .

         На протяжении длительности одной элементарной посылки в решающей схеме приемника в синхронные моменты времени t1 и t2 произведено два отсчета(замера) сигнала x(t),  причем  Dt = t2-t1 больше интервала корреляции помехи n(t).   Измеренные значения x(t1)= x1= 0,2 B; x(t2)= x2= 0,3 B.  Амплитуда сигнала  A=0,4 B.

      Определить отношение правдоподобия и принять решение по критерию идеального наблюдателя, какой из двух сигналов (S1 или S2) поступил на вход приемника для двух случаев:

                                                            а)   ;

                                                            б)  ; .

      Решение задачи(когерентный прием).

     1. Найдем отношение правдоподобия .

      Плотность вероятности сигнала x(t)=S1(t)+n(t) имеет вид

                                                     .

Так как на протяжении элементарного сигнала производятся два отсчета, то для нахождения отношения правдоподобия требуется найти двухмерную плотность вероятностей w2(x1x2/s1). Учитывая, что отсчеты некоррелированы (Dt больше интервала корреляции), а помеха распределена по гауссовскому закону, эти отсчеты можно считать независимыми. В этом случае двухмерная плотность вероятностей равна произведению одномерных плотностей

                   .

      Аналогично

                   .

      Отношение правдоподобия

                  .

Подставляя численные значения A,sn, x1, x2, получим: l (0,2;0,3)= 2,7.

2.Применяем правило решения (3.7 ).

         а) Пороговое отношение правдоподобия при P(s1)=P(s2)=0,5

                                 .

    В нашем случае  l(x1x2)=2,7 > l0=1 и приемник выдает сигнал S1.

         б) Пороговое отношение правдоподобия при P(s1)=0,2 и P(s2)=0,8

                                      .

    В этом случае l(x1x2)=2,7 < l0=4 и приемник выдает сигнал S2.

         Полученные результаты вполне объяснимы: в случае a) измеренное значение x(t1)=0,2B  соответствует половине амплитуды А=0,4В, а измеренное значение x(t2)=0,3B ближе к сигналу S1, поэтому при равной вероятности сигналов приемник выдает решение в пользу сигнала S1; в случае б) измеренные значения сигнала ближе к S1, но зато сигнал S2(t) встречается в 4 раза чаще, чем сигнал S1(t), и точное решение задачи с учетом всех обстоятельств во втором случае получается в пользу сигнала  S2.

         Решение задачи(некогерентный прием).

         Решим эту же задачу в предположении, что в приемнике используется обычный амплитудный детектор .

         Найдем отношение правдоподобия для этого случая. Плотность вероятности x(t) при передаче сигнала S1(t) определяется обобщенным законом Релея

                         ,

а плотность вероятности x(t) при передаче сигнала S2(t) определяется простым законом Релея

                              .

         Как и в предыдущем примере, отношение правдоподобия будет определяться отношением двухмерных плотностей вероятности. После простых преобразований получаем

            .         

Подставляя сюда численные значения А, sn, x1, x2, получим

             .

Как и в предыдущем примере,      а) l0=1     и      б) l0=4.

В обоих случаях l(x1x2)<l0 и в  обоих случаях приемник выдает решение в пользу сигнала S2(t).

         Сравнивая случаи принятия решения решающей схемой приемника при когерентном и некогерентном приеме, невольно возникает вопрос: почему получаются разные результаты  в случае а).

         Дело в том, что при когерентном приеме сигналы x(t)  распределены по гауссовскому закону и оптимальный порог  xo, определяемый точкой пересечения функций P(S1)×w(x/s1) и P(S2)×w(x/s2) (рис. 3.3), в этом случае (когда P(S1) =P(S2) и l0=1) соответствует половине амплитуды сигнала S1(t); измеренные же значения сигнала x(t) близки к пороговому значению и ближе к сигналу S1(t). Однако при некогерентном приеме сигналы x(t) распределены по законам Релея и оптимальный порог xo значительно выше, чем половина амплитуды сигнала S1(t) (рис. 3.4). Поэтому те же измеренные значения x(t1) и x(t2)  оказываются дальше от порога в области сигнала S2(t) и решающая схема приемника при  заданных в условиях задачи вероятностях сигналов S1(t)  и S2(t)  выдает решение в пользу сигнала S2(t).

         Учитывая, что при когерентном приеме уровень помех на входе решающей схемы существенно ниже, чем при некогерентном, более вероятно, что ошибочное решение принял некогерентный приемник.

назад | оглавление | вперёд