Средняя вероятность ошибки в соответствии с формулой (2.4) зависит от вероятности неправильного приема сигналов S1  и S2 . Однако при применении идеального приемника Котельникова канал связи предполагается симметричным, т.е. P(y2/S1) = P(y1/S2). Поэтому формула (2.4) упрощается. В нашем случае Pош = P(y2/S1). Эту формулу мы возьмем за основу при определении вероятности ошибки в приемнике Котельникова.

         Допустим, нам известно, что на вход приемника поступает сигнал S1(t). В этом случае, в соответствии с правилом решения приемника Котельникова (4.4), должно выполняться следующее неравенство

                       _  _  _  _  _  _  _  _  _        _  _  _  _  _  _  _  _  _   

                     [x(t) - S1(t)]2 < [x(t) - S2(t)]2 .                                   (7.1)

         Однако, несмотря на поступление сигнала S1(t), при сильной помехе знак неравенства может измениться на противоположный, в результате чего приемник вместо сигнала S1(t) выдает сигнал S2(t), то есть произойдет ошибка.  Вероятность  искажения    сигнала S1(t)   можно   определить как вероятность изменения знака неравенства (7.1), если подставить туда     x(t) = S1(t) + n(t).

После очевидных преобразований получаем

                                                       _ _ _        _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _                                                  

pош = P(y2/S1) = P{n2(t) > [n(t) + S1(t) - S2(t)]2} =

                                       _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _  

=P{0 > 2 n(t) [S1(t) - S2(t)] + [S1(t) - S2(t)]2} =

= P{1/T 2n(t) [S1(t) - S2(t)]dt + 1/T [S1(t) - S2(t)]2dt < 0}.

Сокращая на Т, получаем

pош = P{ n(t) [S1(t) - S2(t)]dt + 0,5 [S1(t) - S2(t)]2dt < 0}.

Обозначим в этом выражении:

n(t) [S1(t) - S2(t)]dt = m  ,        [S1(t) - S2(t)]2dt = Еэ          (7.2)

         С учетом этих обозначений вероятность искажения сигнала S1 будет определятся формулой

                          Pош = P{m < 1/2× Eэ}.                                                     (7.3)

В этой формуле Eэ - энергия разности сигналов S1(t) - S2(t), называемая "эквивалентной энергией" , а m - некоторая случайная величина, зависящая от помехи n(t) и разности сигналов S1(t) - S2(t).

         Так как помеха n(t) имеет гауссовское распределение, а величина  m есть результат линейной операции над n(t) , то и величина m распределена также по гауссовскому закону

Тогда,  в соответствии с (7.3)

  (7.4)

где   - табулированный интеграл вероятностей.

         Можно доказать,что при флюктуационной помехе на входе приемника  со спектральной плотностью помехи  N0 дисперсия величины m определяется формулой      s2m = N0Eэ /2.

         Подставляя это значение s2m в (7.4) получим окончательно                                                                           (7.5)

         Таким образом, в приемнике Котельникова вероятность ошибки полностью определяется эквивалентной энергией сигналов и спектральной плотностью помехи и от полосы пропускания приемника не зависит. На практике обычно на входе приемника все-таки ставят полосовой фильтр, так как в канале связи, кроме флюктуационных помех, часто встречаются также другие помехи (от соседних каналов, импульсные и др.)

         Формула (7.5) является достаточно общей. Для конкретных видов модуляции в канале связи эту формулу видоизменяют, для чего вычисляют соответствующее значение Eэ . При этом для различных видов модуляции Eэ определяют через энергию одного из сигналов, а в окончательную формулу вводят величину

                                 h20 = E1/N0 .                                                           (7.6)

         Следовательно, в приемнике Котельникова, который также называется когерентным (в приемнике известна фаза принимаемого сигнала) вероятность ошибки зависит не от отношения мощности сигнала к мощности помехи, а от отношения энергии сигнала к спектральной плотности помехи. Это позволяет, не меняя мощности сигнала, увеличить его энергию за счет увеличения его длительности, что дает дополнительные возможности в построении помехоустойчивых систем связи.

назад | оглавление | вперёд