Рисунок 4.

Пример №2.

Решение: Данной структурной схеме соответствует разностное урав­нение

Y(nT) = 0,6[0,1Х(nТ) + 0.5Х(nТ - Т) + 0,4Х(nТ - 2Т)]

Найдем решение данного уравнения численными методами

n = 0 → Y(OT) = 0,6*0,1Х(0Т) = 0,06

n = 1 → Y(1T) = 0,6[0,1Х(1Т) + 0,5Х(1Т - Т)]= 0,6*0,1*0,5 + 0,6*0,5*1=0,45

n = 2 → Y(2T) = 0,6[0,1Х(2Т) + 0,5Х(2Т - Т) + 0,4Х(2Т - 2Т)] =

= 0,6[0,1*0 + 0,5*0,5 + 0,4*1] = 0,39

Y(nT)= {0,06; 0,45; 0,39}

Наряду с разностным уравнением очень часто структуру цифрового фильтра характеризуют передаточной характеристикой. Если разностное уравнение характеризует заданную цепь во временной области, то переда-

точная характеристика характеризует эту же цепь в частотной области. Численное выражение для передаточной характеристики равно:

                                                   (3)

В выражении (3) Y(Z) – Z - преобразование выходного сигнала.

X(Z) – Z - преобразование входного сигнала. Z = е ^-j2π/N: Т - период дискретизации, w - круговая частота, a_m - коэффициенты передачи нерекурсивной цепи, b_e - коэффициенты передачи рекурсивной цепи, Z^-1 - характеризует задержку сигнала не один тактовый интервал, М, L - соответственно характеризует количество прямых и обратных связей системы.

Если , то цепь называется нерекурсивной.

Если  - то цепь рекурсивная.

Пример №3.

Пользуясь рис. 4 и рис. 5, составить уравнения для передаточной ха­рактеристики.

Решение: Цифровой фильтр, изображенный на рис. 4, характеризует­ся следующим видом H(Z)

                                                   (4)

а изображенный на рис. 5 характеризуется как

H(Z) =0,6 [0,1 + 0,5Z^-1 + 0,4Z^-2]                                                (5)

При анализе работы любой цифровой структуры важное место приобретает вопрос устойчивости. Если по каким-то причинам цепь оказывается неустойчивой, то вместо желаемого фильтра получают генератор. Критерий устойчивости дискретной цепи можно получить, зная критерий устойчивости непрерывной цепи. Дискретная цепь будет устойчива, если полюсы Н(Р) расположены в левой полуплоскости комплексной переменной Р = δ + jw. При переходе к плоскости Z левая плоскость комплексной переменной отображается на внутреннюю часть единичного круга Z. Следовательно, полюсы H(Z) дискретной цепи должны располагаться внутри единичного круга плоскости Z. Это и есть принцип устойчивости.

Пример №4.

Дискретная цепь описывается передаточной функцией

                                                     (6)

Определить устойчивость данной цепи.

Решение. Для решения данной задачи преобразуем H(Z) к следую­щему виду

                                                        (7)

Приравняем знаменатель (Z) к нулю и найдем корни

Z² + 0,6Z - 0,1 = 0;                  

Пример №5.

Определить устойчивость цепи

                                                      (8)

В случае обнаружения неустойчивости произвести преобразование рекурсивной цепи в нерекурсивную цепь.

Решение: Воспользовавшись приемом в примере 4, находим, что:

Z₁ = l,65;     Z₂ = -2,25

Цепь, характеризуемая выражением (8) неустойчива. Произведем преобра­зование. Для этого выражение (8) представим к виду:

Поделим числитель на знаменатель. Дискретная цепь, характеризуемая H(Z) выражением (8), реализуема и устойчива с передаточной характеристикой.

H(Z) = 0,7Z - 0.4Z^-1 - 0,08Z^-2...

Наряду с характеристикой H(Z) очень часто дискретную цепь харак­теризует так называемой импульсной реакцией h(nT). Импульсной реакци­ей цепи h(nT) называется отклик цепи на единичную δ функцию. Если H(Z) характеризует систему в частотной области, то h(nT) как и разностное уравнение характеризует цепь во временной области. Обе характеристики связаны с Z преобразованием. Определить h(nT) можно различными методами:

1. По известному разностному уравнению, если Х(nТ) = {1; 0}, тогда у(пТ) будет искомой h(nT), т.е. y(nT) = h(nT),

2. По известному H(Z), используя формулу обратного Z преобразования или теорему разложения,

3.     Численными методами, применяя деление полинома числителя на поли­ном знаменателя. Использование этого приема показано в примере №5.

Расчет X(jkw₁), H(jkw₁) и у(nТ) с применением БПФ и ОБПФ.

Связь между отсчетами во временной и частотной областях устанавливается формулами ДПФ.

 – ДПФ

 – ОДПФ

где  – количество отсчетов во временной и частотной областях.

Оба преобразователя можно вычислить с помощью одного и того же алгоритма. Для этого используют выражение:

W = e^j2 – весовая функция.

Для прямого ДПФ a(n) =X(nT), aX(jkw₁) = A(k).

При вычислении ОДПФ а(n) = X(jW₁(N-n)), где n = 1, 2 ... N-1; а(0) = Х(0);

а  

Анализ алгоритма ДПФ показывает, что количество операций умно­жения будет равно N². Этот алгоритм содержит большое количество избы­точных операций, в том числе и таких, когда одни и те же операции многократно выполняются над одними и теми же значениями величин. Устранение избыточных операций умножения приводит к алгоритму быстрых преобразований Фурье. На рис. 7 приведена схема восьмиточечного БПФ.

Рисунок 7.

При БПФ исходные отсчеты подаются на входы преобразователя не в естественном порядке. Для получения номеров отсчетов в требуемой по­следовательности необходимо номера отсчетов исходной последовательности представить в двоичной системе счисления, а затем для каждого номера переставить разряды, записав их в обратном порядке (таб.1).

Таблица 1.

На рис. 8 изображена схема алгоритма перестановки. Здесь N - количество элементов исходной последовательности, A(i) - ячейки для хранения данных исходной последовательности.

Рисунок 8.

Согласно этого алгоритма перестановка осуществляется непосредственно над содержимым ячеек, хранящих данные исходной последовательности. При этом получение двоично-инверсной последовательности не требует использования дополнительного массива ячеек памяти. Она формируется в том же массиве ячеек, в котором хранилась исходная последовательность. На рис. 9 показана схема алгоритма БПФ.

Рисунок 9.

В процессе выполнения алгоритма БПФ на любом его этапе результат вычисления соответствующих пар значений А¹(р), A¹(g) (рис. 9) полу­чаются путем взаимодействия только А(р) и А(g), которые берутся из результата предыдущего этапа БПФ. Вычисленные значения А¹ (р), А¹(g) помещаются в ячейки, хранящие результаты предыдущего этапа. Т.о. обоб­щенный алгоритм БПФ имеет вид, представленный на рис. 11.