Математический анализ  

Тема 2. Производная функции.

назад | оглавление | вперёд

2.2. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.

1) Производная от суммы равна сумме производных:

Доказательство:

2) Постоянный множитель выносится за знак производной: .

3) Производная произведения: .

Доказательство:

4) Производная дроби: .

Доказательство:

Вывод формул для производных.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

Теорема о производной сложной функции.

Теорема.

Доказательство:

Пусть , определена и непрерывна в окрестности точки (, определена и непрерывна в окрестности точки . Тогда .

Это верно при условии, что каждая из функций дифференцируема.

Теорема о производной обратной функции.

Теорема.

Доказательство:

Пусть дифференцируемая в точке (). - обратная к . Обратная функция существует если монотонная функция. Тогда

Производная сложной степенной функции.

Прием логарифмического дифференцирования.

Производная неявной функции.

– общий вид неявно заданной функции.

Производная параметрически заданной функции.

Примеры параметрических функций:

1)   

2)

3)

    – дифференцируемы.

Пример:

Гиперболические функции.

(гиперболический синус)

arsh x (ареа синус)

(гиперболический косинус)

 arсh x (ареа косинус)

(гиперболический тангенс)

arth x (ареа тангенс)

(гиперболический котангенс)

arcth x (ареа котангенс)

Схематичные графики гиперболических функций:

Производные высших порядков.

Механический смысл второй производной – это ускорение.

Геометрический смысл второй производной – отвечает за вогнутость или выпуклость графика функции.

назад | оглавление | вперёд