Монотонность

Математический анализ

Тема 2. Дифференциальное исчисление.

2.6. МОНОТОННОСТЬ, ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ.

Функция называется возрастающей если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, а меньшему соответствует меньше.

Функция называется убывающей если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, а меньшему соответствует большее.

Теорема. У возрастающей функции производная больше 0 ().

Доказательство:

x		-1
y		min
	–	0	+

Экстремумы функции.

Точка -называется точкой max, если существует некоторая окрестность точки, что для любой точки x из этой окрестности .

Точка -называется точкой min, если существует некоторая окрестность точки, что для любой точки x из этой окрестности .

Необходимый признак экстремума, если -точка экстремума.

Если и , то это точка экстремума.

Если - точка экстремума и существует , то производная =0. Точка, в которой производная, равна нулю, называется критической точкой.

, теорема Логранжа.

Первый достаточный признак экстремума.

Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с ”+” на “-“,то в этой точке максимум.

Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с ”-” на “+“,то в этой точке минимум.

Второй достаточный признак экстремума.

Если в критической точке 2-ая производная больше нуля, то это точка минимума, а если в критической точке 2-ая производная меньше нуля, то это точка максимума.

Пример:

x		1		3
y		Max		Min
	+	0	-	0	+

назад | оглавление | вперёд