Математический анализ |
Тема 3. Интегральное исчисление |
назад | оглавление | вперёд |
3.3. Основные методы интегрирования
Замена переменных под знаком неопределенного интеграла.
Интегрирование по частям.
Доказательство:
(формула
дифференцирования произведения).
(интегрируем
обе части равенства)
(использование
основного тождества)
(что и требовалось
доказать).
Пример:
1) (замена переменной)
2) (интегрирование по частям)
Дополнительный материал
Интегрирование рациональных дробей. Простейшие дроби и их интегрирование.
Все коэффициенты действительные числа.
m , n – целые числа.
Нет общих корней.
Если 
, то дробь называется неправильной, если 
,
то дробь называется правильной.
Если дробь неправильная, то 
, где 
- правильная дробь; 
- многочлен.
Простейшие дроби:
1.
2.
, 
и
целое число.
3.
( в знаменателе неприводимый квадратный трехчлен).
4.
, 
и целое число.
=
=
=
=
=
=
Разложить рациональные дроби на простейшие.
Теорема. Если х = а – корень знаменателя f(x) кратности k , то
Доказательство:
; (1)
Будем подбирать А так, чтобы 
По теореме
Безу это возможно, если
Тогда 
Подставим в (1) 
Следствие:
Теорема. Если 
(
- неприводимый ква дратный трехчлен. 
), то
Доказательство:
Подберем M и N так, чтобы числитель
делился на Y : 
- по
теореме Безу.
M и N можно найти из этой системы всегда.
Следствие: всякая правильная рациональная дробь может быть разложена в сумму простейших дробей.
Пример:
Метод неопределенных коэффициентов.
Правую часть равенства (2) надо привести к общему знаменателю и приравнять в числители коэффициенты при одинаковых степенях F(x). Решая полученную систему уравне ний можно определить все коэффициенты.
Интегрирование рациональных дробей.
Интегрирование иррациональных функций
5.1. 
k – общий знаменатель дробей 
- рационализирующая подстановка.
Пример:
5.2. 
k – общий знаменатель дробей
Пример:
5.3. Тригонометрические подстановки.
Пример:
- обратные
гиперболические функции.
назад | оглавление | вперёд