10.3. Дифференциальные уравнения первого порядка
Линейное дифференциальное
уравнения 2-ого порядка
с постоянными коэффициентами.
(****), 
и
- константы – неоднородное или с правой частью.
(***) - однородное или без правой части.
- общее решение уравнения (****), где
- общее решение соответствующего однородного уравнения (***),.где
и
-
произвольные постоянные, а
и
- линейно независимые решения (***).
- какое-либо частное решение уравнение (****).
Решение линейных дифференциальных
уравнений 2-ого порядка с постоянными коэффициентами без правой части.
Будем
искать
и
в виде
.
Подставим
в уравнение (***).

- характеристическое уравнение для уравнения (***).
Случай
1) 
и
- действительные различные корни.


Случай 2) 
,
где
-
корень уравнения кратности 2.

Подставим
в уравнение (***).


,
так как
- это корень.


Случай 3)
,
где
-мнимая единица
.

Подставим в уравнение (***).

- линейно независимые, следовательно:

Пример:








Решение линейных дифференциальных
уравнений 2-ого порядка с постоянными коэффициентами с правой частью.


- ищется в таком же виде, в котором задана правая часть.
а)

,где А - неопределенный коэффициент.

Пример:







б) 










Общий случай 
- характеристическое уравнение.
а) Если
не корень характеристического уравнения:

б) Если
корень характеристического уравнения кратности 


|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
2 |
0 |
|
1 |
2 |
|
0 |
-1 |
|
1 |
2 |
|
1 |
-1 |
|
1 |
2 |
|
0 |
i |
|
1 |
2 |
|
1 |
i |
|
1 |
2 |
|
0 |
1 |
|
1 |
2 |
|
2 |
1 |
|
1 |
2 |
|
0 |
1+i |
|
0 |
1 |
|
2 |
0 |
|
2 |
2 |
|
0 |
2 |
|
2 |
2 |
|
1 |
2 |
|
i |
-i |
|
0 |
i |
|
2+i |
2-i |
|
0 |
2 |
|
2+i |
2-i |
|
0 |
2+i |
|
Теорема. Если
,
то
,
где
отвечает за
,
а
отвечает за
.
- частное решение уравнения
,
а 
- частное решение уравнения
.
Общая классификация дифференциальных
уравнений
