Математика   

Тема 10. Дифференциальные уравнения

назад | оглавление

 

10.3. Дифференциальные уравнения первого порядка

Линейное дифференциальное уравнения 2-ого порядка

с постоянными коэффициентами.

(****), и - константы – неоднородное или с правой частью.

(***) - однородное или без правой части.

- общее решение уравнения (****), где - общее решение соответствующего однородного уравнения (***),.где и - произвольные постоянные, а и - линейно независимые решения (***).

- какое-либо частное решение уравнение (****).

 

Решение линейных дифференциальных уравнений 2-ого порядка с постоянными коэффициентами без правой части.

Будем искать и в виде .

Подставим в уравнение (***).

- характеристическое уравнение для уравнения (***).

Случай 1)

и - действительные различные корни.

Случай 2)

, где - корень уравнения кратности 2.

Подставим в уравнение (***).

, так как - это корень.

Случай 3) , где -мнимая единица .

Подставим в уравнение (***).

- линейно независимые, следовательно:

Пример:

Решение линейных дифференциальных уравнений 2-ого порядка с постоянными коэффициентами с правой частью.

- ищется в таком же виде, в котором задана правая часть.

а)

,где А - неопределенный коэффициент.

Пример:

б)

Общий случай

- характеристическое уравнение.

а) Если не корень характеристического уравнения:

б) Если корень характеристического уравнения кратности

1

2

2

0

1

2

0

-1

1

2

1

-1

1

2

0

i

1

2

1

i

1

2

0

1

1

2

2

1

1

2

0

1+i

0

1

2

0

2

2

0

2

2

2

1

2

i

-i

0

i

2+i

2-i

0

2

2+i

2-i

0

2+i

Теорема. Если , то , где отвечает за

, а отвечает за . - частное решение уравнения , а - частное решение уравнения .

Общая классификация дифференциальных уравнений


назад | оглавление