Теория электрических цепей  

Глава 4. Частотные характеристики электрической цепи

назад| оглавление| вперёд

4.5. Частотные характеристики реактивных двухполюсников

Общие свойства реактивных двухполюсников. Наряду с комп­лексными передаточными функциями цепей, АЧХ и ФЧХ в зада­чах анализа и синтеза важно знать частотные зависимости вход­ных функций цепи: входного сопротивления Z(jw) и входной про­водимости Y(jw). При этом электрическая цепь рассматривается в виде двухполюсника с двумя парами зажимов, через которые они обмениваются энергией с внешними цепями (см. рис. 4.4). Существуют различные типы двухполюсников: активные и пассив­ные, линейные и нелинейные, реактивные (L С) и двухполюсни­ки общего вида (R L C). Из всего многообразия двухполюсников наибольший интерес представляют пассивные реактивные двух­полюс­ни­ки, состоящие только из индуктивностей и емкостей. Важность этих двухполюсников объясняется тем, что они широко при­меняются в различных радиотехнических устройствах (LC-фильт-ры, корректоры, автогенераторы и др.). Кроме того свойства ре­активных двухполюсников лежат в основе синтеза линейных элек­трических цепей (см. гл. 16, 17).

Простейшим реактивным двухполюсником является элемент индуктивности и емкости (одноэлементный двухполюсник). К двух­элементному двухполюснику относятся последовательный (4.26, а) и параллельный контуры без потерь (рис. 4.26, б). Функции вход­ного сопротивления и проводимости этих двухполюсников равны:       

4.115

где

 

Двухполюсники называются эквивалентными если они облада­ют одинаковыми входными функциями

Двухполюсники называют обратными*, если они удовлетворя­ют условию 

4.116

где R — некоторое постоянное сопротивление.

Рассматриваемые двухполюсники Za(jw) и Zб(jw) являются потенциально обратными, так как условие (4.116) для них выпол­няется при

4.117

Из трех реактивных элементов можно составить уже четыре схемы двухполюсников. На рис. 4.28 приведены две возможные схемы. Их функции входных сопротивлений будут:

4.118

где

;
4.119

где

На рис. 4.29 изображены частотные характеристики (4.118) и (4.119).

Анализируя приведенные схемы и графики, можно сформули­ровать основные свойства реактивных двухполюсников:

1. Входное сопротивление растет с ростом частоты (dZ(jw)/dw > 0).

2. Количество резонансных частот на единицу меньше числа элементов.

3. Резонансы токов (полюса Z(jw)) и напряжений (нули Z(jw)) чередуются, причем, если входное сопротивление двухпо­люсника на нулевой частоте равна нулю, то первым наступает ре­зонанс токов.

4. В числителе функции входного сопротивления стоит множи­тель с частотами резонанса напряжения, а в знаменателе – резо­нанс токов.

5. Множитель jw в уравнении Z(jw) стоит либо в числителе, если первым наступает резонанс токов, либо в знаменателе, если первый резонанс напряжений.

В зависимости от характера зависимой функции входного со­противления на частоте w= 0 и частоте w= бесконечность различают четыре класса реактивных двухполюсников: (0; бесконечность), (0; 0), (бесконечность;0), (бесконечность;бесконечность). В табл. 4.1 приведены частотные характеристики двухполюсников различных классов и их функции входных сопротивлений. Внизу частотных характеристик показана полюсно-нулевая диаграмма показывающая расположение полюсов — X и нулей – 0 по оси частот.

Канонические схемы реактивных двухполюсников. Наиболее распространенными в теории цепей являются канонические схемы, построенные по правилу (канону) Фостера и Кауэра.

Коэффициент Н в  формулах (см. табл. 4.1) определяется как Например, для первой схемы Фостера класса (бесконечность,бесконечность)

H =La, для второй схемы Фостера класса (0, 0) Н = 1/Сб и т. д.

В схемах Кауэра двухполюсники представлены в виде цепо­чечных (лестничных) схем, в продольных ветвях которых нахо­дятся индуктивности, а в поперечных емкости (первая схема Кауэ­ра, рис. 4.31, а), либо наоборот — в продольных емкости, а в по­перечных — индуктивности (вторая схема Кауэра, рис. 4.31, б).

В зависимости от класса канонические схемы Фостера и Кауэ­ра имеют частотные характеристики входных функций, изобра­женные в табл. 4.1.

Положительной особенностью канонических схем Фостера и Кауэра является то, что из всех эквивалентных двухполюсников с заданной частотной характеристикой, они имеют минимальное число элементов. При решении задач синтеза обычно входные функции в схемах Фостера представляются в виде разложения на простые дроби, а в схемах Кауэра — на цепные дроби (см. гл. 16).

*Правило получения обратных двухполюсников базируется на принципе ду­альности: последовательные соединения в исходном двухполюснике заменяются параллельными соединениями дуальных элементов.

назад | оглавление | вперёд