12.1. Общие положения

В технике связи под четырехполюсником понимают электрическую цепь (или ее часть) любой сложности, имеющую две пары зажимов для подключения к источнику и приемнику электрической энергии. Зажимы, к которым присоединяется приемник (нагрузка), - выходными зажимами (полюсами).

В качестве примеров четырехполюсников можно привести трансформатор и усилитель. Четырехполюсниками являются элект-

В общем, виде четырехполюсник изображают, как показано на рис. 12.1. Ко входу четырехполюсника 1-1' подключен источник электрической энергии с задающим напряжением Uг и внутренним сопротивлением Zг. К выходным зажимам 2-2' присоединена нагрузка с сопротивлением Zн. На входных зажимах действует напряжение U1; на выходных - U2. Через входные зажимы протекает ток I1, через выходные зажимы - I2. Заметим, что в роли источника и приемника электрической энергии могут выступать другие четырехполюсники.

На рис. 12.1 использованы символические обозначения напряжений и токов, что справедливо при анализе четырехполюсника в режиме гармонических колебаний. Если же используется источник периодических негармонических или непериодических колебаний, то можно воспользоваться спектральным представлением напряжений и токов (гл. 5, 9)

Подобное представление будем широко использовать при анализе частотных характеристик четырехполюсников. В необходимых случаях обращаться к операторным изображениям Uг(p), U1(p), U2(p), I1(p) и I2(p), которые легко получить, заменяя оператор jw на оператор р (см. § 7.4).

Различают четырехполюсники линейные и нелинейные. Линейные четырехполюсники отличаются от нелинейных тем, что не содержат нелинейных элементов (НЭ) и поэтому характеризуются линейной зависимостью напряжения и тока на выходных зажимах от напряжения и тока на входных зажимах. Примерами линейных четырехполюсников являются электрический фильтр, линия связи, трансформатор без сердечника; примерами нелинейных - преобразователь частоты (содержащий диоды) в радиоприемнике, выпрямитель переменного тока, трансформатор со стальным сердечником (при работе с насыщением стали). Усилитель, содержащий НЭ (например, триоды), может являться как линейным, так и нелиней-

Четырехполюсники бывают пассивными и активными. Пассивные схемы не содержат источников электрической энергии, активные - содержат. Последние могут содержать зависимые и независимые источники. Примером активного четырехполюсника с зависимыми источниками может служить любой усилитель; примером пассивного - LC-фильтр.

В зависимости от структуры различают четырехполюсники мостовые (рис. 12.2, а) и лестничные: гобразные (рис. 12.2, б), тобразные (рис. 12.2, в), побразные (рис. 12.2, г). Промежуточное положение занимают тобразномостовые (тперекрытые) схемы четырехполюсников (рис. 12.2, д).

Четырехполюсники делятся на симметричные и несимметричные. В симметричном четырехполюснике перемена местами входных и выходных зажимов не изменяет напряжений и токов в цепи, с которой он соединен. Четырехполюсники, кроме электрической симметрии, могут иметь структурную симметрию, определяемую относительно вертикальной оси симметрии. Так, тобразный, побразный и тперекрытый четырехполюсники (рис. 12.2) имеют вертикальную ось симметрии при Z1 = Z3. Мостовая схема структурно симметрична. Очевидно, четырехполюсники, симметричные в структурном отношении, обладают электрической симметрией.

Четырехполюсники могут быть уравновешенными и неуравновешенными. Уравновешенные четырехполюсники имеют горизонтальную ось симметрии (например, мостовая схема на рис. 12.2, а) и используются, когда необходимо сделать зажимы симметричными относительно какойлибо точки (например, земли). Можно сделать уравновешенной любую из лестничных схем четырехполюсников.

Четырехполюсники также делятся на обратимые и необратимые. Обратимые четырехполюсники позволяют передавать энергию в обоих направлениях; для них справедлива теорема обратимости или взаимности, в соответствии с которой отношение напряжения на входе к току на выходе не меняется при перемене местами зажимов (см. § 2.4).

12.2. Уравнения передачи четырехполюсника

Системы уравнений четырехполюсника. Основной задачей теории четырехполюсников является установление соотношений между четырьмя величинами: напряжениями на входе и выходе, а также токами, протекающими через входные и выходные зажимы. Уравнения, дающие зависимость между U1, U2, I1 и I2, называются уравнениями передачи четырехполюсника. Для линейных четырехполюсников эти уравнения будут линейными. Величины, связывающие в уравнениях передачи напряжения и токи, называются параметрами четырехполюсников.

Сложная электрическая цепь (например, канал связи), имеющая входные и выходные зажимы, может рассматриваться как совокупность четырехполюсников, соединенных по определенной схеме. Зная параметры этих четырехполюсников, можно вычислить параметры сложного четырехполюсника и получить тем самым зависимость между напряжениями и токами на зажимах результирующего сложного четырехполюсника, не производя расчетов всех напряжений и токов внутри заданной схемы.

Кроме того, теория четырехполюсников позволяет решить обратную задачу: по заданным напряжениям и токам найти параметры четырехполюсника и затем построить его схему и рассчитать элементы, т. е. решить задачу синтеза.

Пусть четырехполюсник содержит п независимых контуров. Отнесем первый контур ко входу четырехполюсника (Iк1 = I1), второй контур - к его выходу (Iк2 = I2). Будем считать, что во внутренних контурах четырехполюсника отсутствуют независимые источники энергии.

При рассмотрении четырехполюсника важно заранее условиться о положительных направлениях напряжений и токов. В дальнейшем будем придерживаться положительных направлений, показанных стрелками на рис. 12.1, если особо не будут оговорены другие случаи.

Составим систему уравнений для контурных токов (см. § 2.4):

Определим из этой системы токи I1 и I2.

Введем обозначения

Тогда

Коэффициенты Y11, Y12, Y21 и Y22 в уравнениях (12.2) называются Y-параметрами, или параметрами проводимостей четырехполюсника, так как по размерности они являются именно таковыми. Уравнения (12.2) называются уравнениями передачи четырехполюсника в Y-параметрах. Эти уравнения представляют собой одну из возможных форм уравнений передачи. Она позволяют находить любую пару из значений I1, I2, U1 и U2, если заданы значения другой пары.

Помимо уравнений в форме (12.2) существует еще пять форм уравнений передачи. Уравнения, связывающие напряжения U1, U2 и токи I1, I2

Коэффициенты, входящие в систему уравнений, связывающую входные U1 и I1 и выходные U2 и I2 напряжения и токи

Приведем еще две формы уравнений передачи:

Коэффициенты H11, H12, H21 и H22 называются нпараметрами и применяются при рассмотрении схем с транзисторами. Параметры H12 и H21 являются безразмерными, а параметры H11 и H22 имеют размерности сопротивления и проводимости.

Коэффициенты F11, F12, F21 и F22 называются F-параметрами и применяются при рассмотрении схем с электронными лампами. Параметры F12 и F21 безразмерные, а параметры F11 и F22 имеют размерности проводимости и сопротивления. Уравнения (12.5) называются соответственно уравнениями передачи в H-параметрах и F-параметрах.

Все формы уравнений передачи принципиально равноправны. Выбор той или иной формы зависит исключительно от задачи, которая в данном случае решается.

Полная совокупность параметров любой системы уравнений передачи образует систему параметров четырехполюсника. Так, систему Y-параметров четырехполюсника образует совокупность его параметров Y11, Y12, Y21, Y22.

Два четырехполюсника, имеющие одинаковые системы параметров, независимо от их внутренней структуры, числа элементов и т. д., характеризуются, очевидно, одинаковыми уравнениями передачи. Такие четырехполюсники называются эквивалентными, и при включении любого из них между одними и теми же внешними цепями на их зажимах устанавливаются одинаковые режимы.

Свойства параметровкоэффициентов. Системы Y-, Z-, а, н и F-параметров образованы из коэффициентов уравнений передачи, и поэтому часто их объединяют одним названием параметрыкоэффициенты. Рассмотрим основные свойства параметровкоэффициентов.

1. Параметрыкоэффициенты определяются только схемой четырехполюсника и ее элементами и не зависят от внешних цепей, между которыми может быть включен четырехполюсник, т. е. они характеризуют собственно четырехполюсник.

Пример. На входе гобразного четырехполюсника (см. рис. 12.2, б), подключенного к внешним цепям, действует напряжение U1 и ток I1, а на выходе напряжение U2 и ток I2. Определим апараметры четырехполюсника. В соответствии с ЗНК и 3TK U1 = U2 + I1Z1 и I1 = U2/Z2 + I2. Подставляя выражение для тока I1 в первое равенство, получаем

Сравнивая эти уравнения с уравнениями передачи в апараметрах (12.4), находим . Как видим, апараметры определяются только элементами гобразного четырехполюсника и не зависят от внешних воздействий.

2. Все системы параметровкоэффициентов описывают один и тот же четырехполюсник, поэтому между различными системами параметровкоэффициентов существует однозначная взаимосвязь.

Пример. Установим связь между апараметрами и Z-параметрами. Решая систему уравнений в Z-параметрах (12.3) относительно неизвестных U1 и I1, находим:

Сравнивая эту систему уравнений с системой (12.4), устанавливаем, что A11 = Z11/Z22; A12 = -DZ/Z21; A21 = 1/Z21 и A22 = -Z22/Z21. Решая систему (12.4) относительно неизвестных U1 и U2, можно найти выражение Z-параметров через апараметры:

Аналогичным образом можно установить связь между другими системами параметров. В табл. 12.1 приведены соотношения между различными системами параметровкоэффициентов.

3. Пассивный четырехполюсник полностью характеризуется не более чем тремя независимыми параметрами. Действительно, в многоконтурной схеме пассивного четырехполюсника взаимные сопротивления Zkm и Zmk k-го и m-го контуров равны между собой. Следовательно, Y12 = -Y21. Зная связь между Y-параметрами и Z-параметрами, можно установить, что Z12 = -Z21. Далее можно показать, что для апараметров справедливо соотношение

Это легко доказать, если выразить в данном определителе апара-метры, например, через Z-параметры.

Наконец, аналогичным образом можно найти, что H12 = H21 и F12 = F21.

Таким образом, независимыми параметрами четырехполюсника могут быть: Y11, Y12 = -Y21, Y22; Z11, Z12 = -Z21, Z22; H11, H12 = = H21, H22; F11, F12 = F21 и F22 или любые три из параметров A11, A12, A21 и A22.

4. При изменении направления передачи энергии через четырехполюсник во всех выражениях, включающих апараметры, коэффициенты A11 и A22 меняются местами.

Рассмотрим передачу энергии через четырехполюсник в обратном направлении, т. е. от зажимов 2-2' к зажимам 1-1' (рис. 12.3). Если в уравнениях передачи (12.4) заменить напряжение U1 и ток I1 на зажимах 1-1' на напряжение U2' и ток -I2' в соответствии с рис. 12.3, а напряжение U2 и ток I2 на зажимах 2-2' на величины -U1' и -I1', то (12.4) можно переписать в виде

Решая эту систему относительно нового входа четырехполюсника, т. е. относительно переменных U1' и I1', получаем

Сопоставляя эти уравнения с (12.4), можно сделать интересное наблюдение: в уравнениях передачи параметры A11 и A22 поменялись местами. Оказывается, этот факт справедлив не только для уравнений передачи, но и для любых других выражений, в которые входят апараметры.

5. Симметричные пассивные четырехполюсники имеют только два независимых параметра. В самом деле, в случае симметричного пассивного четырехполюсника не имеет значения направление передачи энергии: напряжения и токи на входе и выходе не изменяются при замене местами зажимов. Сравнивая уравнения передачи (12.4) и (12.6), устанавливаем, что A11 = A22. Из табл. 12.1 находим также, что в симметричных четырехполюсниках Y11 = = -Y22; Z11 = -Z22 и DH = -1.

Любой симметричный пассивный четырехполюсник полностью описывается двумя независимыми параметрами: A11 = A22 и любым из параметров A12 и A21 (так как они связаны уравнением A11A22 - - A12A21 = 1); Y11 = -Y22 и Y12 = -Y21; Z11 = -Z22 и Z12 = -Z21; H12 = H21 и любым из параметров H11 и H22 (так как для симметричных четырехполюсников H11H22 - H12H21 = -1); F12 = F21 и любым из параметров F11 и F22.

6. Параметрыкоэффициенты имеют определенный физический смысл. Для выявления этого физического смысла следует четырехполюсник поставить в такой режим работы, при котором уравнения передачи содержат лишь один интересующий нас параметр. Подобное произойдет, если использовать режимы холостого хода (XX -размыкания пары зажимов) и короткого замыкания (КЗ - замыкания накоротко пары зажимов). Так, при XX на зажимах 2-2' (см. рис. 12.1) ток I2 = 0. Тогда уравнения передачи, содержащие ток I2, например уравнения (12.3) в Z-параметрах, имеют вид:

Коэффициент Z11 = U1/I1 при I2 = 0 есть входное сопротивление четырехполюсника, измеренное со стороны зажимов 1-1' при разомкнутых зажимах 2-2' или входное сопротивление XX.

Коэффициент - отношение комплексного действующего напряжения на разомкнутых зажимах 2-2' четырехполюсника к комплексному действующему току, протекающему через зажимы 1-1', или взаимное (передаточное) сопротивление XX.

Рассматривая режим XX на зажимах 1-1' (I1 = 0), убеждаемся из уравнений (12.3), что Z22 - выходное сопротивление четырехполюсника при разомкнутых входных зажимах, a Z12 - взаимное (передаточное) сопротивление при XX на зажимах 1-1'.

Предлагаем читателю самостоятельно установить физический смысл остальных параметров, "устраивая" поочередно XX на зажимах 2-2' (I2 = 0) и зажимах 1-1' (I1 = 0) и КЗ на этих же зажимах (U2 = 0 и U1 = 0) и используя соответствующие уравнения передачи (12.2), (12.4) и (12.5).

7. Из предыдущего свойства следует, что параметрыкоэффициенты являются комплексными величинами, так как они определяются отношением комплексных амплитуд (действующих значений) напряжений и токов. В случае анализа четырехполюсника в режиме негармонических колебаний используют спектральные представления электрических величин. Можно показать, что параметрыкоэффициенты, рассматриваемые относительно не отдельной частоты, а определенного спектра частот, являются рациональными функциями оператора jw. При переходе от оператора jw к оператору р параметрыкоэффициенты представляют собой рациональные функции оператора р.

Пример. Для четырехполюсника на рис. 12.2, б определим параметр Z11. Исходя из физического смысла параметра Z11 (он является входным сопротивлением гобразной схемы при разомкнутых зажимах на выходе), определяем из рис. 12.2, б: Z11 = Z1 + Z2.

Этот же результат можно получить следующим образом:

Пусть далее двухполюсник Z1 состоит только из индуктивности L, а двухполюсник Z2 - только из емкости С. Тогда, используя операторную форму записи, получаем

Полученные выражения Z11(р) и Z11(jw) напоминают выражение входного сопротивления последовательного LC-контура. Это объясняется тем, что входное сопротивление гобразной цепи (см. рис. 12.2, б) при разомкнутых зажимах определяется последовательным соединением двухполюсников Z1, и Z2 (индуктивности и емкости), т. е. Z11 является сопротивлением двухполюсника (ср. с (4.115)).

12.3. Применение матриц к расчету четырехполюсников

Уравнения передачи в матричной форме. Любую из систем уравнений передачи четырехполюсника можно записать в матричной форме. В частности, для системы уравнений в Y-параметрах (12.2)

Действительно, выполняя операцию умножения в правой части (12.7), имеем

Из равенства этих матриц следует система уравнений (12.2). Система уравнений в Z-параметрах в матричной форме записи имеет вид:

Для уравнений передачи в апараметрах

Наконец, запишем в матричной форме системы уравнений передачи в нпараметрах и F-параметрах:

Расчет соединений четырехполюсников. Сложные четырехполюсники можно представить в виде различных соединений простых четырехполюсников. При этом параметры сложного четырехполюсника могут быть найдены по параметрам образующих его простых четырехполюсников.

На рис. 12.4 показана схема каскадного соединения двух четырехполюсников. В соответствии с обозначениями на рисунке при каскадном соединении U2'=U1'' I2'=I1''. Для каждого из четырехполюсников можно составить матричные равенства:

Так как матрицы

Таким образом, матрица А результирующего четырехполюсника при каскадном соединении равна произведению одноименных матриц соединенных четырехполюсников: А = А'А''. Это правило распространяется на любое число каскадно соединенных четырехполюсников, причем матрицы должны записываться в порядке следования четырехполюсников, так как умножение матриц не подчиняется переместительному закону.

При последовательном соединении двух (или большего числа) четырехполюсников (рис. 12.5) удобно пользоваться матрицами Z. Для этого вида соединения и , т. е. напряжения на выходах и входах отдельных четырехполюсников в результирующем четырехполюснике складываются. Записывая уравнения передачи в Z-форме для каждого четырехполюсника

При последовательном соединении четырехполюсников матрица Z результирующего четырехполюсника равна сумме одноименных матриц соединенных четырехполюсников: Z = Z' + Z''.

Совершенно аналогично доказывается, что при параллельном соединении четырехполюсников (рис. 12.6), где и , матрица Y результирующего четырехполюсника равна сумме одноименных матриц соединяемых четырехполюсников: Y = Y' + Y''.

Матрицы Н удобно применять при смешанном - последовательнопараллельном соединении четырехполюсников (рис. 12.7, а). При этом H = H' + H''.

Матрицы F удобно применять при параллельнопоследовательном соединении четырехполюсников (рис. 12.7, б). При этом F = = F' + F''.

Параметры типовых четырехполюсников. К типовым пассивным четырехполюсникам относят г, т, побразные схемы (см. рис. 12.2, бг), мостовые (см. рис. 12.2, а) и тперекрытые схемы (см. рис. 12.2, д). Можно получить, основываясь на матричных методах расчета, параметры типовых четырехполюсников, если рассматривать их как сложные четырехполюсники, состоящие из соединений простейших четырехполюсников.

Рассмотрим сначала простейшие четырехполюсники, изображенные на рис. 12.8, а и б. Для первого из них (рис. 12.8, а), пользуясь законами Кирхгофа, можно записать: U1 = U2 + I2Z1 и

Для второго простейшего четырехполюсника (рис. 12.8, б) имеем U1 = U2 и I1 = U2/Z2 + I2 и поэтому

Другие матрицы - Z, Y и Н - могут быть легко получены из табл. 12.1. Заметим, что для первого простейшего четырехполюсника не существует Z-параметров, так как все они обращаются в бесконечность. По этой же причине для второго простейшего четырехполюсника не существует Y-параметров.

На рис. 12.9, а, б показаны соответственно прямое и скрещенное соединения. Нетрудно убедиться, что прямому соединению соответствует матрица

Найдем теперь параметры типовых пассивных четырехполюсников, изображенных на рис. 12.2. гобразный четырехполюсник (рис. 12.2, б) получается путем каскадного соединения простейших четырехполюсников, приведенных на рис. 12.8, а и б. Его матрица

Для тобразного четырехполюсника (рис. 12.2, в) матрицу А можно найти, если рассматривать его как каскадное соединение гобразной схемы с элементами Z1 и Z2 и простейшей схемы с элементом Z3 в продольном плече (рис. 12.8, а):

Для побразной схемы (рис. 12.2, г), если ее представить в виде каскадного соединения простейшего четырехполюсника, изображенного на рис. 12.8, б и гобразного четырехполюсника с элементами Z2 в продольном плече и Z3 в поперечном плече, матрица

Зная апараметры г, т и побразных четырехполюсников, можно найти по табл. 12.1 другие системы параметровкоэффициентов.

Мостовой четырехполюсник (см. рис. 12.2, а) можно представить как параллельное соединение двух простейших четырехполюсников (рис. 12.10). При параллельном соединении следует пользоваться матрицами Y. Используя данные табл. 12.1, найдем по известным матрицам А простейших четырехполюсников (второй из них имеет скрещенные выходные зажимы) их матрицы Y и, просуммировав последние, получим результирующую матрицу Y мостового четырехполюсника. Матрицы Y простейших четырехполюсников с учетом скрещивания выходных зажимов во втором равны

Отсюда матрица Y мостовой схемы

С помощью табл. 12.1 можно получить матрицы А и Z мостового четырехполюсника:

Предлагаем читателям самостоятельно найти параметры тперекрытого четырехполюсника (см. рис. 12.2, д), рассматривая его как параллельное соединение простейшего четырехполюсника с сопротивлением Z4 в продольном плече и тобразного четырехполюсника.

Параметры зависимых источников. Системе уравнений в Y-параметрах (12.2, б) можно сопоставить в соответствии с ЗТК схему с двумя зависимыми источниками типа ИТУН (рис. 12.11, а). Если положить Y11 = Y12 = Y22 = 0 и Y21 = НY, то получим идеальный источник тока, управляемый напряжением (рис. 1.7, б). Таким образом, Y-матрица идеального ИТУНа равна

Воспользовавшись таблицей 12.1, можно записать его а-матрицу:

Аналогичным образом системе уравнений (12.5) в нпараметрах можно сопоставить согласно ЗНК схему с двумя зависимыми источниками: ИНУН и ИТУН (рис. 12.11, б). Принимая Н11 = = Н12 = Н22 = 0 и Н21 = Нi переходим к идеальному источнику тока, управляемому током (рис. 1.7, г). Его матрица Н имеет вид

Если использовать систему уравнений (12.3) в Z-параметрах, то получаем схему с двумя источниками типа ИНУТ (рис. 12.11, в). Полагая Z11 = Z12 = Z22 = 0 и Z21 = НZ, приходим к идеальному источнику напряжения, управляемому током (рис. 1.7, в). Значит Z-матрица идеального ИНУТ записывается в виде

Соответствующая ей а-матрица равна

Система уравнений четырехполюсника в F-параметрах (12.5) связывает входной ток I1 и выходное напряжение U2 с остальными двумя величинами U1 и I2:

Она может быть представлена схемой, показанной на рис. 12.11, г. При F11 = F12 = F22 = 0 и F21 = Нu данная схема превращается в идеальный ИНУН (рис. 1.7, а). Следовательно, F-матрица ИНУН записывается в виде:

К числу простейших активных линейных четырехполюсников с зависимыми источниками относятся транзисторы и лампы, работающие в линейном режиме.

Чаще всего для транзисторов используют уравнения передачи в н или Y-параметрах. Иногда используются также Z-параметры. Усредненные значения Y-, Z- и нпараметров транзисторов приводятся в справочной литературе. Следует иметь в виду, что одни и те же параметры имеют различные значения в зависимости от того, какой именно из электродов транзистора (эмиттер, база, коллектор) является общим для входной и выходной пар зажимов транзистора как четырехполюсника. Различают поэтому Y-, Z- и нпараметры транзисторов с общим эмиттером, с общей базой и с общим коллектором.

Пример. Определим параметры биполярного транзистора прп типа, включенного по схеме с общим эмиттером (рис. 12.12, а). Его схема замещения в области нижних частот показана на рис. 12.12, б. Сравнивая эту схему со схемой рис. 12.11, а, видим, что при Y11 = 1/RБЭ, Y12 = 0, Y21 = HY и Y22 = 0 обе схемы становятся идентичными. Следовательно, Y-матрица биполярного транзистора с общим эмиттером имеет вид

По формулам табл. 9.1 находим матрицы А и Н транзистора:

Электронная лампа как четырехполюсник чаще всего характеризуется Y- или апараметрами. Для электронной лампы с общим катодом, если считать, что сеточные токи отсутствуют, и не учитывать паразитные емкости, имеем:

При перечисленных выше условиях Z- и нпараметров для электронной лампы не существует. В общем случае, когда с влиянием между электродами лампы через паразитные элементы приходится считаться, ни один из параметров лампы с учетом ее паразитных элементов не равен нулю и лампа как четырехполюсник может характеризоваться любой системой параметров.

Параметры сложных четырехполюсников. При анализе сложного четырехполюсника следует выделить простейшие и типовые четырехполюсники и установить способы их соединения. Затем с помощью матричных методов расчета можно определить соответствующие матрицы сложного четырехполюсника.

Пример. Рассмотрим методику определения нпараметров каскада усилителя на транзисторе со схемой, показанной на рис. 12.13, а. Каскад усилителя образуется в результате параллельного соединения транзистора и побразного пассивного четырехполюсника (рис. 12.13, б). Поэтому следует оперировать матрицами Y соединяемых четырехполюсников. Ранее для побразной схемы была найдена матрица А. От нее с помощью табл. 12.1 можно перейти к матрице Y побразного четырехполюсника. Для транзистора, включенного по схеме с общим эмиттером, Y-параметры определяем из выбранной модели (рис. 12.13, в), либо берем из справочника. Просуммировав найденные таким образом матрицы Y побразного четырехполюсника и транзистора, получим матрицу Y усилительного каскада. Далее по табл. 12.1 перейдем к искомой матрице Н усилительного каскада.

12.4. Параметры холостого хода и короткого замыкания четырехполюсника

Входное сопротивление четырехполюсника. Если к одной паре зажимов четырехполюсника, например 2-2', подключить произвольное сопротивление Zн (рис. 12.14, а), то со стороны другой пары зажимов, т. е. 1-1', четырехполюсник можно рассматривать как двухполюсник с входным сопротивлением Zвх1, которое называют входным сопротивлением четырехполюсника. Следовательно, Zвх1 = U1/I1.

Входное сопротивление можно выразить через параметры четырехполюсника. Проще всего это сделать, воспользовавшись выражениями для U1 и I1 из уравнений передачи в апараметрах (12.4). В этом случае

На рис. 12.14, б показан тот же четырехполюсник, нагруженный со стороны зажимов 1-1 на сопротивление Zг. Его входное сопротивление со стороны зажимов 2-2 равно Zвх2 = U1'/I1'.

В связи с тем, что изменилось направление передачи энергии, следует воспользоваться уравнениями передачи (12.6). Тогда

Заметим, что при изменении направления передачи энергии через четырехполюсник в выражениях (12.11) и (12.12) параметры A11 и A22 поменялись местами (см. свойство 4, § 12.2).

Входное сопротивление четырехполюсника не является его внутренним параметром, так как оно зависит не только от свойств четырехполюсника, но и от свойств внешней цепи (нагрузки), на которую замкнута пара зажимов четырехполюсника.

Параметры холостого хода и короткого замыкания. Формулы (12.11) и (12.12) описывают входные сопротивления четырехполюсника при произвольных сопротивлениях нагрузки Zн и Zг. Из них легко получить значения Zвх1 и Zвх2 при разомкнутых и замкнутых накоротко зажимах четырехполюсника.

В режиме холостого хода на зажимах 2-2' (выходные зажимы разомкнуты) входное сопротивление четырехполюсника со стороны зажимов 1-1' обозначается Zхх1 и определяется из формулы (12.11) при Zн = Ґ:

Аналогично входное сопротивление со стороны зажимов 2-2' при разомкнутых зажимах 1-1' определяется из (12.12) при Zг = Ґ:

При коротком замыкании зажимов 2-2' и 1-1' в формулах (12.11) и (12.12) нужно положить Zн = 0 и Zг = 0. В этом случае

Величины Zxx1, Zxx2, Zкз1 и Zкз2 называются параметрами холостого хода и короткого замыкания. Значения этих параметров для любой данной частоты могут быть измерены с помощью специального прибора для измерения комплексных сопротивлений - моста переменного тока. Это особенно удобно, когда четырехполюсник представляется в виде "черного ящика" и нет возможности узнать его содержимое или рассчитать какиелибо другие системы параметров, либо когда влияние паразитных элементов четырехполюсника трудно учесть аналитически. Измерение же других систем параметров часто представляет значительную сложность.

Из приведенных выше соотношений для параметров XX и КЗ легко получить, что Zxx1/Zxx2 = Zкз1/Zкз2, т. е. только три параметра из четырех являются независимыми. Этих параметров достаточно для составления уравнений передачи пассивного четырехполюсника, причем из параметров XX и КЗ может быть получена любая система параметровкоэффициентов.

У активного четырехполюсника все четыре параметра независимы, поэтому их нельзя найти по параметрам XX и КЗ.

В случае симметричного пассивного четырехполюсника параметры А11 = А22 и, следовательно, Zxx1 = Zxx2 и Zкз1 = Zкз2, т. е. симметричный четырехполюсник характеризуется только двумя параметрами XX и КЗ.

12.5. Характеристические параметры четырехполюсника

Согласованное включение четырехполюсника. При передаче сигналов на расстояние может участвовать большое число каскадно соединенных четырехполюсников. На практике используется такое включение четырехполюсников, которое получило название согласованного. Если рассматривать четырехполюсник, включенный по схеме рис. 12.1, то это означает, что должны выполняться два условия: Zвx1 = Zг и Zвx2 = Zн, т. е. входное сопротивление четырехполюсника должно быть согласовано с сопротивлением генератора, а выходное - с сопротивлением нагрузки.

В случае каскадного включения нескольких четырехполюсников обеспечивают согласованное включение каждого из них.

Режим согласованного включения является наиболее благоприятным при передаче сигналов, поскольку при этом отсутствуют отражения электрической энергии (а значит, ее рассеяние) на стыках "генераторчетырехполюсник" и "четырехполюсникнагрузка" и искажение сигнала.

Характеристические сопротивления четырехполюсника. Остается не ясным, всегда ли можно включить четырехполюсник согласованно, т. е. всегда ли можно подобрать такие сопротивления Zг и Zн, при которых

Оказывается, для любого четырехполюсника всегда существует такая пара сопротивлений, для которой выполняется условие (12.16). Эти сопротивления называются характеристическими (собственными) сопротивлениями четырехполюсника и обозначаются Zс1 и Zс2. Индекс "l" указывает на то, что характеристическое сопротивление определяется со стороны зажимов 1-1', а индекс "2" - со стороны зажимов 2-2'.

Таким образом, если в качестве внутреннего сопротивления генератора выбрать Zг = Zс1, а в качестве сопротивления нагрузки Zн = Zс2, то Zвх1 будет равно Zс1, a Zвх2 = Zс2. Рисунок 12.15 иллюстрирует это свойство характеристических сопротивлений.

Можно теперь уточнить определение режима согласованного включения. Режимом согласованного включения четырехполюсника называется такой режим его работы, когда внутреннее сопротивление генератора выбрано равным характеристическому сопротивлению четырехполюсника Zс1, а сопротивление нагрузки равным характеристическому сопротивлению Zс2.

Положив в (12.16) Zвх1 = Zг = Zс1 и Zвх2 = Zн = Zс2, получим

Совместное решение этих уравнений относительно величин Zс1 и Zс2 дает выражение характеристических сопротивлений через апараметры:

Характеристическое сопротивление можно выразить через параметры XX и КЗ. Проще всего это получить из (12.17), если воспользоваться формулами (12.13)-(12.15), где параметры XX и КЗ выражены через апараметры:

Последние формулы удобны для экспериментального определения характеристических сопротивлений методами XX и КЗ.

Пример. Дан резистивный гобразный четырехполюсник (см. рис. 12.2, б) с элементами Z1 = 1600 Ом, Z2 =900 Ом. Включим его согласованно с генератором и нагрузкой. Для согласования четырехполюсника с генератором нужно выбрать его внутреннее сопротивление равным характеристическому сопро

Матрица А четырехполюсника имеет вид

Зная апараметры, по формулам (12.17) определяем характеристические сопротивления четырехполюсника: = 2000 Ом и = 720 Ом. Их можно найти также по параметрам XX и КЗ из формулы (12.18). Последние можно определить непосредственно из схемы: Zхх1 = Z1 + Z2 = 2500 Ом, Zкз1 = Z1 = 1600 Ом и, следовательно, = 2000 Ом. Аналогично Zхх2 = Z2 = 900 Ом, Zкз2 = Z1Z2/(Z1 + + Z2) = 580 Ом и = 720 Ом.

Итак, внутреннее сопротивление генератора следует взять равным Zг = = 2000 Ом, а сопротивление нагрузки Zн = 720 Ом.

Схема согласованного включения четырехполюсника показана на рис. 12.16. Входное сопротивление четырехполюсника

Характеристическая постоянная передачи четырехполюсника. При согласованном включении на стыках "генераторчетырехполюсник" и "четырехполюсникнагрузка" рассеяние электрической энергии будет происходить только в четырехполюснике (например, она будет превращаться в тепловую энергию на резистивных элементах схемы).

Чтобы учесть эти потери, вводят меру передачи энергии - характеристическую (собственную) постоянную передачи четырехполюсника, определяемую через отношение произведения напряжения и тока на входе четырехполюсника к произведению напряжения и тока на его выходе, взятое в логарифмическом масштабе

Так как U1 = I1Zвх1 = I1Zс1 и U2 = I2Zвх2 = I1Zс2, характеристическую (собственную) постоянную передачи можно представить в иных формах записи

Если четырехполюсник симметричный, то из (12.17) следует, что Zс1 = Zс2 = Zс, а из (12.20)

Так же, как и характеристические сопротивления, характеристическую постоянную передачи можно выразить через параметрыкоэффициенты. Чтобы выразить Гс через апараметры, представим ток из (12.4) в виде I1 = А21U2 + А22I2. Так как при согласованном включении U2 = I2Zн = I2Zс2, то I1 = (А21Zс2 + А22)I2. Подставляя выражение для I1 в (12.20) и учитывая из (12.17), что

С собственной постоянной передачи Гс связаны конкретные физические представления. Воспользуемся выражением (12.19)

Для симметричного четырехполюсника из (12.21) получаем

В этом случае величина Ас показывает ослабление абсолютных значений напряжения и тока.

Единица измерения отношений величин в масштабе натуральных логарифмов называется непером (сокращенно Нп).

Ослаблению в 1 Нп соответствует уменьшение мощности в е2 = = 7,39 раза (так как при имеем S1/S2 = e2), а в симметричном четырехполюснике - уменьшение напряжения и тока в е = 2,718 раз (так как при

На практике принято вычислять и измерять ослабление в других единицах - белах (сокращенно Б). Ослаблению в 1 Б соответствует уменьшение мощности в 10 раз, ослаблению 2 Б - в 100 раз и т. д. Вместо формулы (12.25) в этом случае используют формулу

Бел достаточно крупная единица измерения. Вместо нее обычно применяют в 10 раз меньшую единицу - децибел (сокращенно дБ). Поскольку 1 Б = 10 дБ, то

Для симметричных четырехполюсников вместо (12.26) удобно пользоваться формулой

Пример. Несимметричный и симметричный четырехполюсники включены согласованно. Мощность на выходе первого из них уменьшается по сравнению с мощностью на входе в 1000 раз, на выходе второго по сравнению с его входом - в 10000 раз. Определим характеристические (собственные) ослабления четырехполюсников.

Характеристическое ослабление по мощности для несимметричного четырехполюсника согласно формуле (12.25) составляет Ас = 10 lg 1000 = 30 дБ, а для симметричного - Ас = 10 lg 10000 = 40 дБ. Кроме того, для симметричного четырехполюсника можно указать характеристическое ослабление по напряжению и току. В соответствии с (12.25) оно равно 20 lg 10000 = 80 дБ. Второе слагаемое в формуле (12.24)

Преобразование (12.21) для симметричного четырехполюсника приводит к характеристической (собственной) фазовой постоянной, равной разности фаз входного и выходного напряжений или токов:

Измеряется фазовая постоянная в радианах (сокращенно рад) или градусах (сокращенно град).

Величины Zc1, Zc2 и Гc образуют систему характеристических (собственных) параметров четырехполюсника. Она полностью описывает пассивный четырехполюсник.

Связь с другими системами параметров. Вычисление характеристических параметров по апараметрам осуществляется с помощью формул (12.17), (12.22), а по параметрам XX и КЗ - с помощью формул (12.18) и (12.23). Установим обратные соотношения, т. е. выразим апараметры и параметры XX и КЗ через характеристическое.

Из (12.22) следует:

Воспользовавшись формулой Эйлера, запишем

Параметр А11 определяется из произведения (12.27) и (12.29)

Чтобы найти параметр А12, необходимо перемножить (12.28) и (12.30)

Остальные два параметра получаются из отношений (12.28) к (12.30) и (12.27) к (12.29):

Уравнения передачи (12.4) в апараметрах после подстановки в них величин из (12.31)-(12.34) превратятся в уравнения передачи в характеристических параметрах:

Для симметричного четырехполюсника, где Zc1 = Zc2 = Zc эти уравнения примут вид

Запись уравнений передачи в форме (12.35) широко применяется для описания цепей с распределенными параметрами (см. гл. 13).

Формулы (12.13)-(12.15) и (12.31)-(12.34) позволяют выразить параметры XX и КЗ через характеристические параметры. Действительно,

Заметим, что из этих формул легко выводится формула (12.23), приведенная ранее без вывода.

Расчет каскадного согласованного соединения четырехполюсников. При расчете каскадного соединения четырехполюсников ранее был использован матричный метод, в котором матрица А результирующего четырехполюсника определялась произведением матриц А составляющих четырехполюсников. Если четырехполюсники соединены согласованно, то удобнее пользоваться характеристическими параметрами.

На рис. 12.17 показано каскадное согласованное включение трех четырехполюсников с характеристическими постоянными передачи Гc1, Гc2 и Гc3.

Согласование четырехполюсников состоит в том, что характеристические сопротивления со стороны их соединения выбраны равными друг другу, а внутреннее сопротивление генератора и сопротивление нагрузки - равными характеристическим сопротивлениям крайних четырехполюсников. Действительно, крайний справа четырехполюсник нагружен на сопротивление, равное его характеристическому Zc4, значит, входное сопротивление этого крайнего четырехполюсника будет равно характеристическому сопротивлению Zc3 предшествующего четырехполюсника. В свою очередь, входное сопротивление среднего четырехполюсника оказывается равным характеристическому сопротивлению Zc2 крайнего левого четырехполюсника. Следовательно, входное сопротивление крайнего слева четырехполюсника равно Zc1 и согласовано с внутренним сопротивлением генератора.

Аналогичным образом можно провести рассуждения, начиная с левого четырехполюсника.

На рис. 12.17 во избежание путаницы входные сопротивления четырехполюсников со стороны зажимов 2-2' названы выходными сопротивлениями четырехполюсников. Определим характеристическую постоянную передачи результирующего четырехполюсника. Согласно (12.20)

Таким образом, результирующий четырехполюсник, составленный из каскадно и согласованно соединенных отдельных четырехполюсников, имеет характеристические сопротивления, равные характеристическим сопротивлениям крайних четырехполюсников, и оказывается включенным согласованно с генератором и нагрузкой. Его характеристическая постоянная передачи равна сумме характеристических постоянных передачи соединяемых четырехполюсников. Учитывая, что Гс = Ас + jВс, можно записать:

12.6. Внешние характеристики четырехполюсника

Рабочее ослабление четырехполюсника. Режим согласованного включения четырехполюсника является наиболее благоприятным для передачи энергии. Однако обеспечить идеальное согласование четырехполюсника с генератором и нагрузкой в широкой полосе частот возможно только в том случае, когда внутреннее сопротивление генератора, сопротивление нагрузки и характеристические сопротивления четырехполюсника являются резистивными. Добиться же равенства комплексных сопротивлений на всех частотах рабочего диапазона, как правило, не удается. Возникающая вследствие этого несогласованность приводит к дополнительным потерям энергии.

Рассмотрим работу четырехполюсника в реальных условиях (см. рис. 12.1), когда Zг № Zс1 и Zн № Zс2. В этом случае Zвх1 № Zг и Zвх2 № Zн. Несогласованность на входе приводит к тому, что часть энергии отражается от входных зажимов четырехполюсника и возвращается к генератору. Изза несогласованности на выходе не вся энергия из четырехполюсника передается нагрузке: часть ее отражается от нагрузки и возвращается обратно в четырехполюсник. Очевидно, какаято часть энергии будет теряться за счет многократного ее отражения на входных и выходных зажимах четырехполюсника.

Чтобы учесть дополнительно возникающие в рабочих условиях потери энергии, пользуются рабочими мерами передачи, которые являются внешними характеристиками четырехполюсника.

К внешним характеристикам относится рабочее ослабление четырехполюсника, которое позволяет сравнить в логарифмических единицах полную мощность S2, выделяемую в нагрузке Zн на выходе четырехполюсника, с полной мощностью S0, которую генератор отдает в нагрузку, согласованную с его внутренним сопротивлением.

Мощность, выделяемая в нагрузке Zн (см. рис. 12.1)

Полная мощность S0 выделяется на сопротивлении, равном внутреннему сопротивлению генератора, т. е. на Zг, и подключенном непосредственно к его зажимам:

Рабочее ослабление четырехполюсника, выраженное в неперах (Нп), подсчитывается по формуле

В (12.36) и (12.37) входят действующие значения Uг и U2, которые могут быть измерены экспериментально, поэтому эти формулы лежат в основе большинства методов измерения рабочего ослабления четырехполюсника.

При теоретических расчетах пользуются другой формулой

где Ac - характеристическое ослабление четырехполюсника; DA1, DA2 - дополнительные ослабления изза несогласованностей на входе и выходе четырехполюсника:

DA3 - дополнительное ослабление за счет многократного отражения энергии от входных и выходных зажимов четырехполюсника:

При согласовании четырехполюсника с генератором Zг = Zc1 и DA1 = DA3 = 0. При согласовании четырехполюсника с нагрузкой Zн = Zc2 и DA2 = DA3 = 0.

Если согласование полное, т. е. Zг = Zc1 и Zн = Zc2, то Ар = Ас, т. е. рабочее ослабление четырехполюсника равно его характеристическому (собственному) ослаблению. Для пассивного четырехполюсника рабочее ослабление больше собственного ослабления вследствие рассогласования на входе и выходе.

Рабочее ослабление является вещественной частью комплексной величины Гр - рабочей постоянной передачи четырехполюсника:

Передаточные функции четырехполюсника. Передаточной функ-цией нагруженного четырехполюсника (см. рис. 12.1) называется отношение выходной электрической величины к входной электрической величине, т. е. отношение реакции к воздействию (см. §7.4).

Если входным воздействием считать напряжение генератора с комплексным действующим значением Uг, а реакцией четырехполюсника на это воздействие - напряжение с комплексным действующим значением U2 или ток с комплексным действующим значением I2, то получаются комплексные передаточные функции общего вида:

В частных случаях, когда заданными воздействиями являются напряжение на входных зажимах четырехполюсника или ток, протекающий через эти зажимы, получают следующие четыре разновидности передаточных функций (см. § 7.4):

Hu = U2/U1 - комплексный коэффициент передачи по напряжению (для активных четырехполюсников, например усилителей, он носит название коэффициента усиления по напряжению);

Hi = I2/I1 - комплексный коэффициент передачи по току (для активных цепей - коэффициент усиления по току);

HZ = U2/I1 - комплексное передаточное сопротивление;

HY = I2/U1 - комплексная передаточная проводимость.

Передаточные функции четырехполюсника выражаются через любую систему параметров и сопротивления нагрузки. Например,

Можно вычислять передаточные функции в различных режимах работы четырехполюсника (холостой ход, короткое замыкание, согласованное включение). Например, при холостом ходе на выходе (разомкнутые зажимы 2-2') комплексный коэффициент передачи по напряжению находится из (12.39) при Zн = Ґ

Коэффициент передачи по току в режиме короткого замыкания на выходе (замкнутые накоротко зажимы 2-2') получим из (12.40) при Zн = 0:

При согласованном включении симметричного четырехполюсника из (12.39) следует

Формула (12.43) устанавливает связь между передаточной функцией по напряжению согласованно включенного симметричного четырехполюсника с его характеристической (собственной) постоянной передачи. Аналогичным образом можно получить остальные передаточные функции в различных режимах работы и выражения их через интересующие нас параметры.

Часто используют так называемую рабочую передаточную функцию четырехполюсника:

Рабочая передаточная функция непосредственно связана с рабочей постоянной передачи четырехполюсника. Действительно, из (12.44) и (12.36) вытекает, что

Справедливы также более общие соотношения: или .

Если на входе четырехполюсника действует негармоническое (периодическое или непериодическое) воздействие, то, переходя от мгновенных значений напряжений и токов к их изображениям по Лапласу Uг(p), U1(p), U2(p), I1(p) и I2(p), получают операторные передаточные функции Н(р), которые представляются в общем виде (7.41):

Пример. Найдем коэффициент передачи по напряжению и квадрат АЧХ четырехполюсника, изображенного на рис. 12.18, a, в режиме XX на выходных зажимах.

Коэффициент передачи по напряжению нагруженного четырехполюсника согласно (12.39)

В режиме XX Zн = Ґ и согласно (12.41) и (12.8)

Используя операторную форму записи, имеем

Корни числителя этой рациональной дроби, т. е. нули передаточной функции,

Корни знаменателя, или полюсы передаточной функции,

На рис. 12.18, б показано расположение нулей и полюсов функции при .

По теореме Виета

Амплитудночастотная характеристика в данном режиме работы определяется из Huхх(р) путем замены р на jw и вычисления модуля полученной функции

Квадрат АЧХ запишется в виде

Вопросы и задания для самопроверки

1. Используя метод узловых напряжений, найти Y-параметры тобразного четырехполюсника, изображенного на рис. 12.19.

2. Определить Y-параметры тобразного четырехполюсника, показанного на рис. 12.20, при R = 100 Ом, L = 0,1 Гн, С = 10-5 Ф, w = 1000 с1.

Ответ: Y11 = Y22 = 0,01j;

Y12 = Y21 = -1,26Ч10-2exp(j1,25).

3. Объяснить, в каких случаях следует включать цепи согласованно'

4. Рассчитать характеристическое сопротивление четырехполюсника на рис. 12.21, если Z1 = 1000 Ом, Z2 = j500 Ом.

5. Чем отличается рабочее ослабление четырехполюсника от собственного (характеристического)'

6. Что такое комплексная передаточная функция' Какие виды комплексных передаточных функций четырехполюсника известны'

7. Определить коэффициент передачи по напряжению , АЧХ и ФЧХ цепи, изображенной на рис. 1.22, если выходным напряжением является напряжение на резисторе R. Построить графики АЧХ и ФЧХ.

8. Рассчитать передаточную функцию каскадного соединения цепей, изображенных на рис. 1.22 и 1.23. Построить график АЧХ полученной цепи.

9. Определить коэффициент передачи по напряжению при холостом ходе и коэффициент передачи по току при коротком замыкании для побразного четырехполюсника в продольную ветвь которого включена индуктивность L, а в поперечные ветви - емкость С.

10. Определить ослабление, вносимое цепью рис. 1.22, при R = = 31,8 кОм и = 10 кОм.

Ответ: 12 дБ.

11. Что такое операторная передаточная функция' Как она связана с комплексной передаточной функцией' Как определить нули и полюсы операторной передаточной функции'

12. Определить операторную передаточную функцию, комплексный коэффициент передачи по напряжению, АЧХ и квадрат АЧХ последовательного колебательного контура, изображенного на рис. 12.18, а, если выходным напряжением является напряжение на емкости С. Построить график АЧХ цепи.

13. Перечислить основные свойства операторных передаточных функций пассивных цепей.

назад | оглавление | вперёд