СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Цель занятия: Изучение практических приложений теории вероятностей и овладение вероятностными методами математической статистики и теории случайных величин для решения прикладных задач теории связи.

Литература:
[ 1 ] – стр. 7 – 38;
[ 3 ] – стр. 47 – 57, 67 – 70;
[ 5 ] – стр. 5 – 10, 23 – 27, 56, 75 – 80.

Контрольные вопросы

1. Какие события называются случайными?
2. Какие события называются совместными, несовместными, зависимыми и независимыми?
3. Что такое полная группа событий?
4. Что такое вероятность случайного события? Какие вероятности называются априорными и какие – апостериорными?
5. Как определяются вероятности объединения (суммы) и совмещения (произведения) двух событий?
6. Что такое “полная” вероятность и как записывается формула для её определения?
7. В чем заключается смысл теоремы о вероятностях гипотез (формула Байеса)?
8. Теорема о повторении опытов (формула Бернулли).
9. Сформулировать понятия непрерывной и дискретной случайных величин. Привести примеры.
10. Что называется функцией распределения вероятностей случайной величины? Каковы её основные свойства? Привести графические примеры для дискретной и непрерывной случайных величин.
11. Что называется плотностью распределения вероятностей случайной величины? Привести примеры графических построений плотностей вероятностей для дискретной и непрерывной случайных величин. Сформулировать основные свойства.
12. Что понимается под числовыми характеристиками случайной величины (математическим ожиданием и дисперсией)? Физический смысл числовых характеристик и формулы вычисления для дискретных и непрерывных случайных величин.
13. В чем заключается смысл и практическое значение центральной предельной теоремы теории вероятностей?
14. Что такое и как определяется совместная плотность вероятностей:
    • двух независимых случайных величин;
    • двух зависимых случайных величин?
15. Что такое и как определяется корреляционная функция случайной величины (дискретной и непрерывной)?
16. Дать определение нормированной корреляционной функции случайной величины. Какими пределами ограничены её возможные значения?
17. Привести примеры законов распределения непрерывных (равномерный, нормальный) и дискретных (Бернулли, Пуассона, равномерный) случайных величин. Дать соответствующие графические пояснения.

Задачи

6.1. Относительно указываемых событий определить, образуют ли они в данном варианте полную группу (ответ обосновать).

1. Передача сообщения по каналу связи:

A1 – сообщение принято;
A2 – сообщение не принято.

2. Передача двух сообщений:

B1 – оба сообщения приняты;
B2 – оба сообщения не приняты.

3. Передача двух сообщений:

C1 – хотя бы одно сообщение не искажено;
C2 – хотя бы одно сообщение искажено.

6.2. Относительно каждой группы событий ответить на вопрос, являются ли они в данном варианте несовместными (да, нет).

1. Передача сообщения по каналу связи:

A1 – сообщение принято;
A2 – сообщение не принято.

2. Передача двух сообщений:

B1 – первое сообщение принято без искажений;
B2 – второе сообщение принято без искажений.

3. Передача двух сообщений:

C0 – не приняты оба сообщения;
C1 – принято одно сообщение;
C2 – приняты два сообщения.

4. Передача двух сообщений:

D1 – одно сообщение принято;
D2 – одно сообщение принято, второе не принято.

5. Передача трех сообщений по каналу связи:

E1 – в первом сообщении есть ошибка;
E2 – во втором сообщении есть ошибка;
E3 – в первом сообщении есть ошибка, во втором – нет.

6.3. Относительно каждой из групп событий ответить на вопрос, равновероятны ли они в приведенных вариантах (да, нет)?

1. Передача сообщения по каналу связи: а) с помехами; б) без помех:

A1 – сообщение принято;
A2 – сообщение не принято.

2. Передаются сообщения, заранее известно, что второе сообщение в канале связи искажается:

B1 – оба сообщения искажены на приеме;
B2 – оба сообщения приняты без искажений.

3. Передача сообщения по каналу с помехами:

C1 – сообщение искажается;
C2 – сообщение не искажается.

4. Передача двух сообщений по каналу: а) с помехами; б) без помех:

D1 – оба сообщения приняты;
D2 – оба сообщения не приняты;
D3 – одно сообщение принято, другое не принято.

5. Могут быть переданы одновременно до шести различных равновероятных сообщений:

E1 – передано не менее двух сообщений;
E2 – передано не более трех сообщений.

6. По дискретному каналу связи передаются в одинаковых условиях три кодовые комбинации одинаковой длины; события:

F1 – ошибка в первой комбинации;
F2 – ошибка во второй комбинации;
F3 – ошибка в третьей комбинации.

6.4. Относительно каждой из групп событий ответить на следующие вопросы: образуют ли они полную группу; являются ли несовместными.

1. Передача сообщения по каналу связи с помехами:

A1 – принятое сообщение искажено;
A2 – принятое сообщение не искажено.

2. Передача двух сообщений:

B1 – оба принятых сообщения искажены;
B2 – оба принятых сообщения не искажены;
B3 – одно сообщение искажено, одно не искажено.

3. Одновременно может быть передано до шести сообщений:

C1 – передано 1 или 2 сообщения;
C2 – 2 или 3 сообщения;
C3 – 3 или 4 сообщения;
C4 – 4 или 5 сообщений;
C5 – 5 или 6 сообщений.

4. Случайным образом может быть передана одна кодовая комбинация из совокупности кодовых комбинаций, соответствующих буквам русского алфавита:

D1 – передана кодовая комбинация, соответствующая букве А;
D2 – букве В; D6 – букве Е;
D3 – букве С; D7 – букве И;
D4 – букве М; D8 – букве Г;
D5 – букве К; D9 – букве Н.

5. Передача сообщения по каналу связи:

E1 – сообщение принято без искажений;
E2 – сообщение принято с искажениями.

6. Передача в одинаковых условиях трех кодовых комбинаций равной длины:

F1 – искажена первая комбинация;
F2 – искажена вторая комбинация;
F3 – искажена третья комбинация.

7. Эксплуатируются две радиостанции в течение времени t; события:

G0 – ни одна радиостанция не вышла из строя;
G1 – одна радиостанция вышла из строя, другая нет;
G2 – обе радиостанции вышли из строя.

6.5*. Усилитель промежуточной частоты линейного тракта многоканальной системы связи имеет две микросхемы. В течение заданного времени первая микросхема может отказать с вероятностью 0,63; вторая – с вероятностью 0,36, и хотя бы одна из микросхем – с вероятностью 0,71. Найти вероятность отказа усилителя, если для этого должны отказать обе микросхемы? Чему равна вероятность отказа второй микросхемы, когда первая уже отказала?

6.6*. В отделении связи за сутки принято 100 телеграмм, из них 60 телеграмм приняты в первые два часа суток. Известно, что за эти два часа 10% телеграмм приняты с ошибками. Определить вероятность того, что первая взятая для доставки телеграмма окажется принятой в первые два часа суток и при этом будет с ошибками?

6.7. Набирая номер телефона абонент забыл последние две цифры. И, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

6.8. Кодовая комбинация, передаваемая по дискретному каналу связи, состоит из пяти знаков, каждый из которых может быть либо “0”, либо “1”. Найти вероятность того, что в комбинации будут два нуля.

6.9. Телеграфное сообщение состоит из сигналов “0” и “1”. Статистические свойства помехи таковы, что искажаются в среднем 2/5 сигналов “нуль” и 1/3 сигналов “единица”. Известно, что среди передаваемых сигналов “0” и “1” встречаются в соотношении 5:3.

Определить вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если:

1. принят сигнал “0” ;
2. принят сигнал “1”.

6.10. Посланный радиолокатором сигнал, отражаясь от цели принимается из-за наличия помех с вероятностью 0,9. Какова вероятность того, что при пятикратной передаче сигнал будет принят 4 раза? Не менее 4 раз? Какое число принятых сигналов будет наивероятнейшим?

6.11. По линии связи в случайном порядке передаются все 30 знаков алфавита. Определить вероятность P(A) того, что на ленте появится последовательность букв, образующих слово “радио”.

6.12. Производится прием кодовых комбинаций, содержащих 5 цифр от 1 до 5. Какова вероятность P(A) того, что в принятой комбинации цифры образуют последовательность 1 2 3 4 5 ?

6.13. Известно, что 80% всех сообщений передано по кабельной линии связи (КЛС), а 20% по радиорелейной линии связи (РРЛ). Вследствие воздействия помех принимаются без искажений 90% всех сообщений по КЛС; по РРЛ – 60%. Определить вероятность того, что первое наугад выбранное сообщение окажется переданным по КЛС; по РРЛ.

6.14. Из условия задачи 6.13 определить вероятность того, что первые два наугад выбранные сообщения переданы по КЛС; по РРЛ.

6.15. Из условия задачи 6.13 определить вероятность того, что хотя бы одно из первых двух сообщений окажется переданным по КЛС; по РРЛ.

6.16. Из условия задачи 6.13 определить вероятность того, что первое наугад выбранное сообщение окажется неискаженным и при этом переданным по КЛС; по РРЛ.

6.17. Из условия задачи 6.13 определить вероятность того, что первое наугад выбранное сообщение окажется неискаженным.

6.18. Из условия задачи 6.13 определить вероятность того, что в случае, если первое выбранное сообщение окажется неискаженным, то оно передано по КЛС; по РРЛ.

6.19. Из условия задачи 6.13 определить наиболее вероятную линию связи (КЛС или РРЛ), по которой передано сообщение, если первое сообщение окажется неискаженным.

6.20. Подсчитано, что в русском тексте буква “О” встречается с частостью 0,095, а буква “А” – с частостью 0,064. Какова вероятность того, что первой буквой в телеграмме будет либо буква “О”, либо буква “А”.

6.21. Обнаружение воздушной цели производится независимо двумя радиолокационными станциями. Вероятность P(A) обнаружения цели первой станцией равна 0,7. Вероятность P(B) обнаружения цели второй станцией равна 0,8. Определить вероятность P(C) того, что цель будет обнаружена хотя бы одной станцией.

6.22. По каналу связи, подверженному воздействию помех, передается одна из двух команд управления в виде кодовых комбинаций 11111 или 00000, причем априорные вероятности передачи этих команд соответственно равны 0,7 и 0,3. Из-за наличия помех вероятность правильного приема каждого из символов (1 или 0) уменьшается до 0,6. Предполагается, что символы кодовых комбинаций искажаются независимо друг от друга. На выходе приемного устройства зарегистрирована комбинация 10110.

Определить какая команда была передана (с какой вероятностью)?

6.23**. Две радиолокационные станции ведут наблюдение за областью пространства, в которой перемещается объект, в течение времени t . За это время первая станция успевает произвести n1 циклов обзора, вторая n2 циклов. За один цикл обзора первой станции объект обнаруживается с вероятностью q1, второй с вероятностью q2. Найти вероятности событий:

A – объект обнаружен за время t хотя бы одной станцией;
B – объект обнаружен первой станцией и не обнаружен второй;
C – объект не обнаружен за первую половину t , но обнаружен за вторую.

6.24. Радиолокационная станция за один цикл обзора обнаруживает объект с вероятностью q. Сколько потребуется циклов обзора для того, чтобы объект был обнаружен с вероятностью не меньшей, чем q ?

6.25. Сообщение, передаваемое по каналу связи, состоит из n знаков. При передаче каждый знак искажается (независимо от других) с вероятностью P. Для надежности сообщение дублируется (повторяется) k раз. Найти вероятность, что хотя бы одно из переданных сообщений не будет искажено ни в одном знаке.

6.26. Важное сообщение передается одновременно по n каналам связи, причем, для надежности по каждому каналу оно повторяется k раз.

При одной передаче сообщение (независимо от других) искажается с вероятностью P. Каждый канал связи (независимо от других) поражается помехами с вероятностью Pk ; по этому каналу не могут передаваться никакие сообщения. Найти вероятность события q(A), что хотя бы один раз сообщение передано без искажений.

6.27. По каналу связи передается n=6 сообщений, каждое из которых, независимо от других, с вероятностью P=0,2 оказывается искаженным. Найти вероятности следующих событий:

C – ровно 2 сообщения из 6 искажены;
D – не менее двух сообщений из 6 искажены.

6.28. По каналу связи передается n сообщений. Каждое из сообщений независимо от других с вероятностью P искажается помехами.

Найти вероятности следующих событий:

A – из n сообщений m будут искажены помехами;
B – не более половины всех передаваемых сообщений будут искажены;
C – не менее m из n сообщений будут приняты неискаженными;
D – все сообщения будут приняты без искажений;
E – не менее двух сообщений будет искажено.

6.29. Передается сообщение, состоящее из n двоичных символов “0” и “1”. Каждый из символов с малой вероятностью P искажается (заменяется на противоположный). Для повышения надежности сообщение передается два раза; если оба совпали, информация считается правильной. Найти вероятность того, что, несмотря на совпадение сообщений, оба они оказались ошибочными.

6.30**. С целью повышения надежности передачи важного сообщения, состоящего из n символов, каждый из передаваемых символов дублируется (повторяется) m раз. Правильно принятым на приеме считается символ, который принят не менее k раз из m. Если символ в пункте приема принят менее k раз, то такой символ считается искаженным. Вероятность q правильного приема любого символа одинакова и не зависит от того, правильно ли приняты другие символы.

Найти вероятности следующих событий:

A – переданный отдельный символ в сообщении будет правильно воспринят в пункте приема;
B – все сообщение будет правильно воспринято в пункте приема;
C – в сообщении будет искажено не более l символов.

6.31. По каналу связи передается последовательно три сообщения; каждое из них может быть принято правильно или искажено.

Рассматриваются события:

Ai – i-ое сообщение принято правильно;
– i-ое сообщение искажено (i = 1, 2, 3).
A – все сообщения приняты правильно;
B – все три сообщения искажены;
C – хотя бы одно сообщение принято правильно;
D – хотя бы одно сообщение искажено;
E – не менее двух сообщений принято правильно;
F – не более одного сообщения принято правильно;
G – первое правильно принятое сообщение – третье
по порядку.

6.32*. При дискретизации речевого сигнала по уровню для передачи по каналу связи каждый i-ый уровень может передаваться с вероятностью P(xi), которая приведена в таблице. Определить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Построить ряд распределения и функцию распределения вероятностей. Отметить на графиках математическое ожидание и средне квадратическое отклонение.

6.33. Передатчик радиорелейной станции состоит из 100 микросхем. Вероятность отказа одной микросхемы в течение года равна 0,001. Какова вероятность отказа двух, трёх, четырёх, пяти микросхем в течение года, если случайное число k отказавших микросхем подчиняется закону Пуассона:

,

где l – среднее число микросхем, выходящих из строя за год.

6.34. Наработка на отказ микропроцессора составляет 1000 ч. Считая, что за этот срок микропроцессор выходит из строя, определить число микропроцессоров, которые нужно заменить в течение одного часа при длительной эксплуатации блока коммутации пакетов, содержащего 2000 микропроцессоров.

Найти вероятность отказа за час одного, двух, трех, четырех, пяти микропроцессоров, а также вероятность того, что за час ни один микропроцессор не выйдет из строя.

6.35. От телефонного аппарата абонента на электронную АТС поступает за шесть часов 13 000 импульсов. Эти данные считают типовыми и по ним можно определить “среднее число импульсов в секунду”.

Какова вероятность того, что за пять секунд поступит четыре импульса, не более четырех импульсов (считается, что вероятность прихода импульсов пропорциональна временному интервалу)?

6.36. На сельскую телефонную станцию за час в среднем поступает 10 вызовов. Какова вероятность того, что за три минуты поступит 1 вызов, 2 вызова, не поступит ни одного вызова?

6.37*. Вероятность того, что абонент позвонит на коммутатор в течение часа равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 300 абонентов. Определить вероятность того, что в течение двух часов позвонят два, три, четыре, пять абонентов, если число вызовов, поступающих на коммутатор, подчиняется закону Пуассона:

,

где l – среднее число вызовов за единицу времени.

Построить ряд распределения и функцию распределения вероятностей.

6.38. За рассмотренный период времени среднее число ошибочных соединений, приходящихся на одного абонента равно 2. Какова вероятность того, что для данного абонента число ошибочных соединений будет равно 1, 2, 3, 4, больше 4, если число ошибочных соединений подчиняется закону Пуассона.

Построить функцию распределения вероятностей и определить дисперсию числа ошибочных соединений.

6.39**. Среднее число вызовов на телефонной станции в течение суток приведено в таблице:

Требуется определить:

• вероятность того, что за одну минуту поступит 1, 2, 3 и 5 вызовов;
• вероятность того, что за утренние часы (6—12) поступит не более четырёх вызовов. При решении учесть, что вероятность вызовов пропорциональна времени.

6.40. Определить математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения вероятностей случайного напряжения, имеющего плотность распределения, показанную на рис. 6.1.

Найти и показать на графиках функции распределения вероятностей и плотности распределения вероятностей вероятность того, что случайное напряжение будет находиться в интервале от x1 = 0 до x2 = b/2.

6.41. Случайный дискретный сигнал Y на выходе линейной безынерционной радиотехнической цепи связан со входным сигналом X соотношением Y = 2 – 3X. Числовые характеристики входного сигнала:

mx = – 1, Dx = 4.

Определить:

• математическое ожидание и дисперсию выходного сигнала Y;
• корреляционную функцию и нормированную корреляционную функцию X и Y.

6.42. Отсчеты мгновенных значений помехи X распределены по гауссовскому закону:

Отсчеты регулярного измерительного сигнала Y, передаваемого по каналу связи, распределены равномерно в интервале (0, 2), X иY независимы.

Определить:

1) M[X+Y]; 2) M[XY]; 3) M[X2]; 4) M[X–Y2];

5) D[X+Y]; 6) D[X–Y].

6.43. По тропосферному каналу связи передается N сообщений; длительность каждого сообщения случайна, имеет постоянное математическое ожидание m, дисперсию D и не зависит от длительности других сообщений. Найти математическое ожидание и дисперсию суммарного времени T, за которое будут переданы все N сообщений. Найти Tmax – максимальное практически возможное время передачи всех сообщений.

6.44. Производятся четыре независимых измерения суммы сигнала и помехи X на выходе канала связи. Каждое измерение характеризуется одним и тем же математическим ожиданием mx и средним квадратическим отклонением s x .

Результаты измерений: X1, X2, X3, X4. Рассматриваются разности между соседними измерениями:

Y1 = X2 – X1 ; Y2 = X3 – X2 ; Y3 = X4 – X3.

Найти характеристики системы этих случайных величин:

• математическое ожидание mY1; mY2; mY3;
• среднее квадратическое отклонение s 2Y1; s 2Y2; s 2Y3;
• нормированную корреляционную матрицу || rij ||.

6.45. Дискретные случайные величины X1, X2, ..., X24, характеризующие поток вызовов, поступающих на междугородную телефонную станцию в разные часы суток, независимы и распределены по законам Пуассона с параметрами l 1, l 2,.., l 24.

Показать, что их сумма

также распределена по закону Пуассона с параметром

.

6.46. Отсчеты мгновенных значений флуктуационной помехи (X, Y) при двухлучевом распространении радиосигнала в ионосфере распределены по гауссовскому закону с характеристиками mx, my, s x, s y и rxy. Отсчеты мгновенных значений помехи на выходе приемного устройства (U, V) связаны с (X, Y) зависимостью:

U = ax + by + c, V = kx + ly + m.

Найти закон распределения системы случайных величин (U, V).

6.47. Для повышения достоверности сигнал одновременно передается по n каналам многоканальной системы связи. Случайный сигнал X имеет равномерное распределение на интервале (1, 2).

Рассматривается среднее арифметическое наблюдаемых значений случайного сигнала X:

.

На основе закона больших чисел выяснить, к какому числу a будет приближаться (сходиться по вероятности) величина Y при n ® ¥ . Оценить максимальную практически возможную ошибку равенства Y » a.

6.48. Случайные величины X и Y, характеризующие поток вызовов на две АТС, независимы и распределены по законам Пуассона с параметрами a и b. Найти закон распределения их разности Z = X – Y и модуля их разности U = |X – Y| = |Z|.

6.49. Отсчеты мгновенных значений помехи после прохождения через две нелинейные радиотехнические цепи распределены по показательному закону с параметрами l и m :

Найти плотность распределения вероятностей разности Z = X – Y.

6.50. Двумерная плотность распределения вероятностей флуктуационной помехи W2(X,Y) имеет гауссовский закон распределения:

где mx, my, s x, s y, Rxy – параметры распределения.

Определить:

• одномерные плотности распределения вероятностей W1(x), W1(y);
• условные плотности распределения вероятностей W1(yx), W1(xy).

6.51. Дискретный случайный телеграфный сигнал принимает значения в интервале (–1 £ x £ 1), в этом интервале плотность распределения равномерна.

Требуется :

• найти и построить функцию распределения вероятностей F1(x);
• вычислить вероятность P того, что случайный сигнал принимает значения x £ –0,5 ; x £ 0,5.

6.52. Функция распределения безотказной работы t передатчика радиорелейной станции имеет вид :

Найти:

• вероятность безотказной работы передатчика в течение времени T ;
• плотность распределения вероятности времени безотказной работы W(t).

6.53. Вероятность того, что на телефонную станцию поступает один вызов за время t, задается формулой :

P (t) = 1 – e–l t, (l > 0).

Определить функцию плотности распределения времени между вызовами.

6.54**. Плотность распределения вероятностей случайной амплитуды помехи в канале связи имеет вид (закон Релея):

.

Определить и построить функцию распределения вероятностей амплитуд помехи. Вычислить математическое ожидание и дисперсию амплитуд помехи, а так же вероятность того, что амплитуды находятся в интервале от E1 до E2, где

а) E1 = 0, E2 = s ; в) E1 = 0, E2 = 3s ;

б) E1 = 0, E2 = 2s ; г) E1 = 0, E2 = 4s ;

6.55. Измерительный сигнал в системе связи имеет вид гармонического колебания x = a sinw t.

Найти плотность распределения вероятности значения x в любой момент времени t, считая, что вероятность нахождения в интервале (x, x + dx) пропорциональна длине интервала dx и обратно пропорциональна производной в соответствующий момент времени. Найти функцию распределения вероятностей F(x) и определить вероятность того, что мгновенные значения x будут находиться в интервале

[–a+b £ x £ a–c], (b < 2a ; c < 2a).

Проделать расчет для двух случаев:

• b= 0, c = 3a/2, (рис. 6. 2)

  

   

• b = a/2, c = a/2, (рис. 6. 3)

  

   

6.56. Найти значение параметра b :

а) в одностороннем экспоненциальном законе распределения случайного напряжения

W(x) = b e- l x, (x ³ 0)

б) в двустороннем экспоненциальном законе (закон Лапласа)

W(x) = b e- l | x| , (–¥ < x <¥ ).

6.57**. Определить и построить функцию распределения вероятностей, вычислить математическое ожидание и дисперсию случайного напряжения, имеющего плотности распределения вероятностей:

а) гауссовскую

б) одностороннюю экспоненциальную

W(x) = a e- l x, x ³ 0 ;

в) двухстороннюю экспоненциальную

W(x) = a e- l | x| , (–¥ < x <¥ );

г) квадратичного закона

W(x) = 3x2/2, (–1 £ x £ 1 ).

Определить вероятность того, что случайное напряжение будет в интервале от x1 до x2, причём:

1) x1 = 0, x2 = 0,5s ; 4) x1 = 0, x2 = 3s ;

2) x1 = 0,2s , x2 = 0,4s ; 5) x1 = –3s , x2 = 3s ;

3) x1 = 0,2s , x2 = 0,8s ; 6) x1 = s , x2 = 3s .

Примечание: Для аудиторной работы с подробным анализом результатов решения рекомендуются задачи: 6.1, 6.2, 6.3, 6.9, 6.26, 6.32, 6.40, 6.57, которые позволяют подробно рассмотреть основные положения теории случайных величин и их применение к задачам теории связи.

* При решении задач, отмеченных *, рекомендуется составить программу вычислений на алгоритмическом языке ЭВМ.

** Решение задач, отмеченных **, рекомендуется проиллюстрировать структурной схемой алгоритма.

назад | оглавление | вперёд