Математический анализ |
Тема 2. Дифференциальное исчисление. |
назад | оглавление | вперёд |
2.4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.
Теорема Ролля, теорема о корнях производных.
Доказательство:
Пусть гладкая на , .
Тогда :
Любая гладкая функция, имеющая на концах отрезка одинаковые значения имеет, внутри этого отрезка, хотя бы один корень производной.
при
при
Теорема Коши о среднем.
Доказательство:
Пусть - гладкие на .
на
Тогда : , где .
F – гладкая на отрезке . По теореме Ролля : .
по условию, а так как иначе по теореме Ролля , что противоречит условию.
Теорема Логранжа. Теорема о конечных приращениях.
Доказательство:
Пусть гладкая на,
Тогда : .
Пусть :
Геометрический смысл:
Для любой гладкой на замкнутом отрезке кривой найдется точка, в которой касательная параллельна хорде AB.
Правило Лопиталя (теорема Вернули – Лопиталя).
Пусть и гладкие в окрестности и
Тогда
Правило Лопиталя: Предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Доказательство:
Применим теорему для и , , где а - точка в окрестности .
где .
Примеры:
1)
2)
3)
назад | оглавление | вперёд