,
т. е. уравнение первой степени относительно x
и y,
всегда определяет на плоскости некоторую прямую; таким образом, кривые
первого порядка – это прямые линии.|
Аналитическая геометрия |
|
4.1. Кривые второго порядка. Окружность |
назад | оглавление | вперёд |
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Геометрическое место точек называется алгебраической кривой, если левая часть его уравнения в декартовых координатах после упрощения и переноса всех членов в одну часть равенства будет многочленом относительно x и y. Степень этого многочлена, т. е. наибольшая из сумм показателей степеней x и y членов многочлена, называется порядком этой кривой. Можно доказать (это будет ниже доказано только для кривых второго порядка), что порядок алгебраической кривой не зависит от выбора осей координат на плоскости; иными словами, степень уравнения данной кривой остается одной и той же, к какой бы системе прямоугольных координат ее ни относить.
Всякое уравнение вида ,
т. е. уравнение первой степени относительно x
и y,
всегда определяет на плоскости некоторую прямую; таким образом, кривые
первого порядка – это прямые линии.
К кривым второго порядка относятся эллипс, частным случаем которого является окружность, гипербола и парабола. Кроме того, в некоторых случаях уравнение второй степени относительно x и y может определять две прямые, точку или мнимое геометрическое место.
Кривые второго порядка – эллипс, гипербола и парабола – играют большую роль в прикладных вопросах. Напомним, что планеты солнечной системы в соответствии с первым законом Кеплера движутся вокруг Солнца по эллипсам; по эллипсам же движутся вокруг планет их спутники (в частности, искусственные спутники Земли); наконец, кометы, зашедшие в солнечную систему из мирового пространства, могут двигаться вокруг Солнца либо по эллипсам, либо по параболам, либо по гиперболам в зависимости от значения скорости, с которой комета приближается к Солнечной системе.
Кривые второго порядка начнем изучать с простейших из них – окружности.
§ 3.1. Окружность.
Как известно, уравнение
окружности радиуса 
с центром в точке 
имеет вид:
(3.1).
Если в этом уравнении
раскрыть скобки и перенести 
в левую часть равенства, то уравнение примет вид:
(3.1`).
Геометрический смысл
уравнения не изменится, если все его члены умножить на один и тот же, отличный
от нуля и не зависящий от 
и 
множитель 
;
введем обозначения – 
,
– 
, 
.
Уравнение (3.1') запишется тогда в виде:
(3.2).
Возникает вопрос: всякое ли уравнение вида (3.2) является уравнением некоторой окружности?
Чтобы ответить на этот вопрос,
проделаем обратное преобразование уравнения (3.2) к виду (3.1), считая коэффициенты
A,
D, E и
F
произвольными (но 
).
Разделим все члены уравнения
(3.2) на А и введем обозначения: 
,
, 
;
тогда уравнение (3.2) примет вид:
(3.2`).
Дополняя члены с x
и y
до полных квадратов и перенося член 
направо, придадим уравнению (3.2')
вид:
(3.3).
Правая часть последнего уравнения может быть числом положительным, отрицательным или нулем.
1. Если 
,
то положим 
.
Уравнение (3.3) запишется в виде:
(3.3`)
и является, как известно,
уравнением окружности радиуса R
с центром в точке 
.
2. Если 
,
то уравнение (3.3) принимает вид:
(3.3``).
Ему удовлетворяют только
значения 
,
(сумма двух квадратов может быть равна нулю только тогда, когда одновременно
равен нулю каждый из них); таким образом, уравнению (3.3'')
удовлетворяет единственная точка плоскости .
Но, впрочем, можно говорить, что уравнение (3.3'')
и в этом случае является уравнением окружности, но окружности, выродившейся
в точку (окружности с нулевым радиусом).
3. Если 
,
то полагая 
,
приводим уравнение (3.3) к виду:
(3.3```).
Поскольку сумма квадратов двух вещественных чисел не может быть числом отрицательным, то на плоскости xOy не существует точек, которые удовлетворяли бы уравнению (3.3'''). Поэтому уравнение (3.3''') не определяет никакой кривой; иногда говорят, впрочем, что уравнение (3.3''') является уравнением мнимой окружности.
Только учитывая это последнее замечание, можно говорить, что уравнение (3.2) всегда определяет окружность (вещественную, выродившуюся в точку или мнимую).
Примеры.
1. Уравнение x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 приводится к виду (x – 2)2 + (y + 3)2 = 25 и определяет окружность радиуса R = 5 с центром в точке С(2;–3).
2. Уравнение x2 + y2 + 2x + 1 = 0 приводится к виду (x + 1)2 + y2 = 0 и определяет единственную точку С(–1;0).
3. Уравнение x2 + y2 + 4x + 2y + 7 = 0 приводится к виду (x + 2)2 + (y + 1)2 = – 2 и никакой вещественной кривой не определяет (мнимая окружность).
назад | оглавление | вперёд