Аналитическая геометрия 

4.3. Гипербола 

назад | оглавление | вперёд

Для вывода простейшего уравнения гиперболы расположим оси координат по отношению к ее фокусам и так же, как мы это делали в предыдущем параграфе для эллипса. Сохраним для гиперболы те же обозначения: 2а для постоянной величины, упоминаемой в определении гиперболы, 2с для расстояния между фокусами и . Координаты фокусов те же, что и для эллипса в предыдущем параграфе: и .

Возьмем произвольную точку , лежащую на гиперболе. По определению гиперболы для точек кривой, лежащих в I и IV четвертях имеем:

а для точек, лежащих во II и III четвертях:

Заметим, что для гиперболы в отличие от эллипса (2а есть разность двух сторон треугольника , а 2с – его третья сторона). Выражая через координаты точек , и длины отрезков и оба равенства (3.18) и (3.18') можно записать в виде:

в котором, однако, теперь . (Рекомендуется читателю произвести это преобразование самостоятельно.)

Деля левую и правую части уравнения (3.10) на и учитывая, что теперь , запишем результат в виде:

(3.20).

Наконец, полагая , получим окончательно простейшее (каноническое) уравнение гиперболы:

Для построению гиперболы по ее уравнению (3.21) заметим прежде всего, что первый член левой части этого уравнения не меньше его правой части, т. е. единицы (поскольку из вычитается неотрицательная величина ): .

Отсюда . Таким образом, в вертикальной полосе между параллельными оси Oy прямыми и точек кривой нет.

Отмечаем далее, что, так же как и для эллипса, оси координат служат осями симметрии гиперболы, так как в уравнении (3.21) x и y входят лишь в четных степенях. Поэтому достаточно построить часть гиперболы, лежащую в I четверти.

Решим уравнение гиперболы (3.21) относительно y: , выберем в правой части знак плюс, поскольку в I четверти :

При ; при возрастании x возрастает и y: ветвь гиперболы, подымаясь от оси Ox, уходит на плоскости все дальше и дальше, или, как говорят в геометрии, уходит "в бесконечность". Но при этом, как нетрудно показать, ветвь кривой все ближе и ближе подходит к прямой . В самом деле, разность между ординатами точек этой прямой и гиперболы (обозначим ее через ), соответствующих одному и тому же значению абсциссы х, имеем следующее выражение:

Из последнего выражения видно, что когда х неограниченно возрастает, то , оставаясь положительным, стремится к нулю, что и подтверждает высказанную нами мысль: ветвь гиперболы, лежащая в I четверти неограниченно приближается (и притом снизу, так как ) к прямой , когда абсцисса х точки гиперболы неограниченно возрастает. Такие прямые, к которым неограниченно приближаются уходящие в бесконечность ветви кривых, называются асимптотами этих кривых.

Таким образом, прямая является асимптотой гиперболы. В силу симметрии гиперболы у нее есть и вторая асимптота: . Наличие асимптот и соображения симметрии позволяют нам построить всю гиперболу (рис. 5): кривая состоит из двух не смыкающихся ветвей, лежащих в углах между прямыми и и неограниченно приближаются к этим прямым.

Отрезок называют вещественной, а – мнимой осью гиперболы; их длины равны соответственно 2а и 2b (а – вещественная полуось, b – мнимая полуось). Точки гиперболы и , лежащие на вещественной оси, – вершины гиперболы. Точка О – центр гиперболы. Изображенный на рис. 3.5 пунктиром прямоугольник с центром в точке О и сторонами , и , параллельными осями симметрии гиперболы, называют осевым прямоугольником гипербол; его построение облегчает построение гиперболы; сама гипербола касается вертикальных сторон этого прямоугольника в их серединах, являющихся вершинами гиперболы.

Для построения фокусов гиперболы и полезно знать, что основное соотношение между величинами , и у гиперболы можно записать в виде:

Поэтому расстояние от центра гиперболы до ее фокуса равно половине длинны диагонали осевого прямоугольника : в прямоугольном треугольнике катеты , , а следовательно, его гипотенуза .

Форма гиперболы зависит от угла наклона асимптоты к вещественной оси, т. е. от величины отношения : чем эта величина меньше, тем меньше угол между асимптотами, в котором заключена гипербола, и тем более сжата сама гипербола; чем больше величина , тем круче располагаются ветви гиперболы.

Но, так же как и для эллипса, в качестве характеристики формы гиперболы в аналитической геометрии пользуются не величиной отношения , а величиной , называемой эксцентриситетом гиперболы и обозначают той же буквой , как и для эллипса:

Так как у гиперболы , то эксцентриситет гиперболы . Из прямоугольного треугольника , в котором острый угол наклона асимптоты к вещественной оси обозначен через , находим:

т. е. эксцентриситет гиперболы равен секансу угла наклона асимптоты к вещественной оси.

Важным частным случаем гиперболы является равносторонняя (равноосная) гипербола – такая гипербола, у которой равны длины вещественной и мнимой полуосей: .

У равносторонней гиперболы, как нетрудно показать, угол между асимптотами прямой, и .

, или (3.28),

поскольку меняются ролями оси Ox и Oy и полуоси гипербол а и b.

Отметим, что расстояние с от центра до фокусов у обеих сопряженных гипербол одно и то же, определяемое формулой (3.24), но эксцентриситеты различные: , ; (если только обе гиперболы не являются равносторонними).