1.4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА ИНТЕРВАЛЕ
Определение 1.
Пусть функция 
определена в окрестности точки 
,
тогда функция непрерывна в ,
если 
.
Определение 2.
Функция
непрерывна, если
.
Определение 3.
Функция
непрерывна в точке ,
если 
.Приращение
аргумента 
.
Приращение функции 
.
Определение 4. Функция
непрерывна в точке ,
если 
.
Если функция не является непрерывной в точке ,
то эта точка – точка разрыва. Если функция непрерывна на отрезке (a, b), то
функция неразрывна на отрезке (a, b).
Определение 5.
Функция
непрерывна в точке
справа, если 
.
Определение 6.
Функция
непрерывна в точке
слева, если 
.
Функция непрерывна на отрезке
,
если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка и односторонне
непрерывна на его концах.
Теоремы о непрерывных функциях.
Теорема 1. Сумма, произведение и частное непрерывных функций – непрерывны (кроме случая, когда знаменатель обращается в нуль).
Доказательство:
Пусть 
и 
.
Тогда 
.
Доказательство для умножения и деления аналогично доказательству для сложения.
Теорема 2. Композиция непрерывных функций непрерывна:
Функция 
непрерывна в точке ,
если g(x) непрерывна в точке и
f(y) непрерывна в 
.
Теорема 3. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения.
Разрывы функции.
Разрыв первого рода.
Пусть 
и 
существуют:
I. Если
,
то в точке функция
испытывает разрыв скачок первого рода.
Примеры:
-
– целая часть числа x.
– дробная часть от числа
x. 
II. Если
, то
в точке функция
испытывает устранимый разрыв первого рода.
Примеры:
1) 
2) 
3) 
4) 
Разрыв второго рода.
Функция испытывает разрыв второго
рода, если 
– не существует.
Свойства функции, непрерывной на замкнутом отрезке.
Пусть функция 
непрерывна на замкнутом отрезке 
.
Теорема 1.
Функция принимает наибольшее и наименьшее значение на .
Или 
,
где 
.
Теорема 2. Функция принимает все свои промежуточные
значения на .
Или 
,
где 
– область значений.
Теорема 3.
Если функция принимает на концах отрезка
значения разных знаков, то внутри отрезка найдется точка, в которой 
.
Или 
.